Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de
ao longo do contorno
, onde
e
são especificados em cada caso.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função
ao longo de um contorno
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais de funções complexas ao longo de caminhos específicos no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o contorno
, expressar
em termos dessa parametrização e então calcular a integral usando essas expressões.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o contorno
. O contorno é dado por
, onde
varia de 0 a
. Aqui,
é o módulo constante de
, e
é o ângulo que
faz com o eixo real no plano complexo. Então, nossa parametrização é:
com
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
multiplicada por
. Derivando
:
Então,
Passo 4
Vamos expressar
ao longo do contorno
. Como
, o módulo de
é simplesmente
:
Passo 5
Agora, montamos a integral usando a parametrização:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos calcular a integral
. Sabemos que:
Então,
Lembrando que
, então:
Agora, substituindo de volta na integral original:
E como
:
Resposta
A integral de
ao longo do contorno
é igual a
.