Nos Exercs. 1 a 10, calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=|z|, C=z=r e^i theta: 0 <= theta <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função f(z) = |z| ao longo de um contorno C . Isso envolve conceitos de cálculo de integrais de funções complexas ao longo de caminhos específicos no plano complexo. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o contorno C , expressar dz em termos dessa parametrização e então calcular a integral usando essas expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o contorno C . O contorno é dado por z = r e^i theta , onde theta varia de 0 a pi . Aqui, r é o módulo constante de z , e theta é o ângulo que z faz com o eixo real no plano complexo. Então, nossa parametrização é:
z(theta) = r e^i theta
com 0 <= theta <= pi .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dz , que é a derivada de z em relação a theta multiplicada por dtheta . Derivando z(theta) :
dzdtheta = r i e^i theta
Então,
dz = r i e^i theta dtheta

Passo 4

Vamos expressar f(z) = |z| ao longo do contorno C . Como z = r e^i theta , o módulo de z é simplesmente r :
|z| = r

Passo 5

Agora, montamos a integral usando a parametrização:
integralC f(z) , dz = integral0^pi |z(theta)| cdot dzdtheta , dtheta
Substituindo |z(theta)| = r e dz = r i e^i theta dtheta :
integral0^pi r cdot r i e^i theta , dtheta = r^2 i integral0^pi e^i theta , dtheta

Passo 6

Vamos calcular a integral integral0^pi e^i theta , dtheta . Sabemos que:
integral e^i theta , dtheta = e^i thetai + C
Então,
integral0^pi e^i theta , dtheta = [ e^i thetai ]0^pi = e^i pi - e^i cdot 0i = -1 - 1i = -2i
Lembrando que 1i = -i , então:
-2i = 2i
Agora, substituindo de volta na integral original:
r^2 i cdot 2i = r^2 cdot 2i^2
E como i^2 = -1 :
r^2 cdot 2(-1) = -2r^2

Resposta

A integral de f(z) = |z| ao longo do contorno C é igual a -2r^2 .

Exercícios relacionados