Resolva as seguintes E.D.Os usando Variação de Parametros;
4 y^prime prime+36 y=cossec(3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
4y''+36y=csc(3x)
usando o método de variação de parâmetros. Vamos primeiro colocar em forma padrão dividindo por 4:
y''+9y=14,csc(3x)
O conteúdo principal é o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular de uma E.D. linear de segunda ordem não homogênea.

Passo 2

Resolvemos a equação homogênea associada
y''+9y=0
A equação característica é
r^2+9=0Longrightarrow r=pm3,i
logo as soluções fundamentais são
y1(x)=cos(3x), y2(x)=sin(3x),
e a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x)

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, precisamos do wronskiano
W(y1,y2) = cos(3x) & sin(3x) -3sin(3x) & 3cos(3x) =3cos^2(3x)+3sin^2(3x)=3
Denotando f(x)=tfrac14csc(3x), as fórmulas são
u1'=-y2,f(x)W, u2'=y1,f(x)W

Passo 4

Calculamos u1' e u2':
u1'=-sin(3x),l(tfrac14csc(3x)r)3 =-112,
u2'=cos(3x),l(tfrac14csc(3x)r)3 =cot(3x)12
Integramos para obter u1 e u2:
u1(x)=integral -tfrac112,dx=-x12,
u2(x)=integral cot(3x)12,dx =112,cdot13lnl|sin(3x)r| =136lnl|sin(3x)r|

Passo 5

A solução particular fica
yp(x) =u1,y1+u2,y2 =-x12cos(3x) +136lnl|sin(3x)r|;sin(3x)
Somando com a homogênea obtemos a solução geral.

Resposta

A solução geral da E.D. é
y(x)=C1cos(3x)+C2sin(3x) -x12cos(3x) +sin(3x)36,lnl|sin(3x)r|

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