Resolva ld xd t=-4 x+y+z d yd t=x+5 y-z d zd t=r-3 z

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais que envolve três funções: $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $. Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar como essas funções se comportam ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matemática que envolvem equações diferenciais lineares e sistemas lineares. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para ficar mais fácil de visualizar:
dxdt = -4x + y + z dydt = x + 5y - z dzdt = r - 3z
Aqui, $ r $ é uma constante.

Passo 3

Vamos organizar essas equações em forma de matriz. Isso facilita muito a resolução de sistemas de equações diferenciais lineares. Podemos escrever o sistema como:

$$
\frac{d}{dt}
ddt x y z = -4 & 1 & 1 1 & 5 & -1 0 & 0 & -3 x y z + 0 0 r



+
$$
Aqui, a primeira matriz é a matriz dos coeficientes, e o vetor da direita representa os termos constantes.

Passo 4

Vamos resolver o sistema homogêneo primeiro, ou seja, sem o termo constante:

$$
\frac{d}{dt}
ddt x y z = -4 & 1 & 1 1 & 5 & -1 0 & 0 & -3 x y z

lambda
det(A - lambda I) = 0
$$
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores ($ \lambda $) da matriz dos coeficientes. Os autovalores são soluções da equação característica:
A
onde $ A $ é a matriz dos coeficientes e $ I $ é a matriz identidade.

Passo 5

Calculando a determinante:
det -4 - lambda & 1 & 1 1 & 5 - lambda & -1 0 & 0 & -3 - lambda = (-4 - lambda)(5 - lambda)(-3 - lambda) - (1)(1)(-3 - lambda) = 0
Resolvendo isso, encontramos os autovalores $ \lambda $.

Passo 6

Depois de encontrar os autovalores, encontramos os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $. Os autovetores nos ajudam a construir a solução geral do sistema homogêneo.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema completo, que inclui o termo constante $ r $. Como o sistema é linear, a solução geral será a soma da solução homogênea e da solução particular.

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, a solução geral do sistema será uma combinação das soluções homogênicas (envolvendo os autovalores e autovetores) e a solução particular que resolve o sistema completo.

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é a soma das soluções homogêneas, associadas aos autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes, mais uma solução particular que considera o termo constante $ r $. Essa combinação fornece as expressões para $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ ao longo do tempo.

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