Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações diferenciais que envolve três funções: $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $. Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar como essas funções se comportam ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matemática que envolvem equações diferenciais lineares e sistemas lineares. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações para ficar mais fácil de visualizar:
dxdt = -4x + y + z dydt = x + 5y - z dzdt = r - 3z
Aqui, $ r $ é uma constante.
Passo 3
Vamos organizar essas equações em forma de matriz. Isso facilita muito a resolução de sistemas de equações diferenciais lineares. Podemos escrever o sistema como:
$$
\frac{d}{dt} ddt x y z = -4 & 1 & 1 1 & 5 & -1 0 & 0 & -3 x y z + 0 0 r
+
$$
Aqui, a primeira matriz é a matriz dos coeficientes, e o vetor da direita representa os termos constantes.
Passo 4
Vamos resolver o sistema homogêneo primeiro, ou seja, sem o termo constante:
$$
\frac{d}{dt} ddt x y z = -4 & 1 & 1 1 & 5 & -1 0 & 0 & -3 x y z
lambda det(A - lambda I) = 0
$$
Para resolver isso, precisamos encontrar os autovalores ($ \lambda $) da matriz dos coeficientes. Os autovalores são soluções da equação característica:
A
onde $ A $ é a matriz dos coeficientes e $ I $ é a matriz identidade.
Resolvendo isso, encontramos os autovalores $ \lambda $.
Passo 6
Depois de encontrar os autovalores, encontramos os autovetores correspondentes a cada $ \lambda $. Os autovetores nos ajudam a construir a solução geral do sistema homogêneo.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema completo, que inclui o termo constante $ r $. Como o sistema é linear, a solução geral será a soma da solução homogênea e da solução particular.
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, a solução geral do sistema será uma combinação das soluções homogênicas (envolvendo os autovalores e autovetores) e a solução particular que resolve o sistema completo.
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é a soma das soluções homogêneas, associadas aos autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes, mais uma solução particular que considera o termo constante $ r $. Essa combinação fornece as expressões para $ x(t) $, $ y(t) $ e $ z(t) $ ao longo do tempo.