Exercs. 11-14: Calcule d w / d t.
w=r^2-s tg v ; r=sen^2 t, s=cos t, v=4 t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função composta. Temos w definida por w = r² – s tg v, onde r, s e v dependem de t: faremos a derivação usando regra da cadeia e produto quando necessário.

Passo 2

Vamos primeiro achar as derivadas de r, s e v em relação a t. Aplicando derivada de funções trigonométricas:
Para r = sen² t, temos dr/dt = 2 sen t · cos t = sen(2t).
Para s = cos t, temos ds/dt = – sen t.
Para v = 4t, temos dv/dt = 4.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de w = r² – s·tan v. Usando regra da cadeia e do produto, temos:
dwdt = 2r drdt ;; l(dsdttan v ;+ ssec^2 v dvdtr)

Passo 4

Substituindo r, dr/dt, s, ds/dt, v, dv/dt na expressão:
dwdt = 2(sin^2 t)(sin2t) ;; l((-sin t)tan(4t) + cos tsec^2(4t)cdot4r)

Passo 5

Agora simplificamos: como sin2t = 2 sen t cos t, o primeiro termo vira 4 sen³t cos t; e ao distribuir o menos no segundo parêntese obtemos + sen t tan(4t) – 4 cos t sec²(4t).

Resposta

dwdt = 4sin^3 tcos t + sin ttan(4t) - 4cos tsec^2(4t)

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