Exercs. 11-14: Calcule
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Passo 1
O enunciado pede a derivada de uma função composta. Temos w definida por w = r² – s tg v, onde r, s e v dependem de t: faremos a derivação usando regra da cadeia e produto quando necessário.
Passo 2
Vamos primeiro achar as derivadas de r, s e v em relação a t. Aplicando derivada de funções trigonométricas:
Para r = sen² t, temos dr/dt = 2 sen t · cos t = sen(2t).
Para s = cos t, temos ds/dt = – sen t.
Para v = 4t, temos dv/dt = 4.
Para r = sen² t, temos dr/dt = 2 sen t · cos t = sen(2t).
Para s = cos t, temos ds/dt = – sen t.
Para v = 4t, temos dv/dt = 4.
Passo 3
Agora aplicamos a derivada de w = r² – s·tan v. Usando regra da cadeia e do produto, temos:
Passo 4
Substituindo r, dr/dt, s, ds/dt, v, dv/dt na expressão:
Passo 5
Agora simplificamos: como sin2t = 2 sen t cos t, o primeiro termo vira 4 sen³t cos t; e ao distribuir o menos no segundo parêntese obtemos + sen t tan(4t) – 4 cos t sec²(4t).