Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
11 f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2}-1 & \text { se } & x<1 \\\\ 4-x & \text { se } & x \geq 1\end{array}\right.
e pede para classificar as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto ou infinitas.
Informações relevantes fornecidas:
A função é definida por duas expressões diferentes à esquerda e à direita de x=1.
As expressões são \;x^{2}-1 para x<1 e \;4-x para x\ge 1.
Possíveis pontos problemáticos são pontos onde a definição muda: aqui, x=1.]
Passo 2
Relembrando conceitos que vamos usar (com calma e sem pressa):
Dizemos que f é contínua em um ponto a se existir \lim_{x\to a} f(x) e esse limite for igual a f(a). Ou seja, a função não “salta” nem “explode” naquele ponto.
Limites laterais: \lim_{x\to a^-} f(x) (aproximação pela esquerda) e \lim_{x\to a^+} f(x) (pela direita). Se esses dois existirem e forem iguais, o limite \lim_{x\to a} f(x) existe e é esse valor comum.
Tipos de descontinuidade (resumo prático):
Removível: as duas laterais existem e são iguais, mas ou f(a) não está definido, ou f(a) é diferente desse valor. Dá para “consertar” definindo f(a) corretamente.
Tipo salto (descontinuidade por salto): as duas laterais existem e são finitas, mas são diferentes entre si. A função “salta” de um valor para outro em a.
Infinita: pelo menos uma das laterais diverge para \pm\infty.
Passo 3
Observar onde a função pode ser descontinua:
Para x<1, a expressão é x^{2}-1, que é um polinômio; polinômios são contínuos em todos os reais.
Para x>1, a expressão é 4-x, que é linear; funções lineares são contínuas em todos os reais.
Logo, não há descontinuidade em nenhum ponto diferente de x=1. O único ponto a verificar é x=1, onde a definição muda de ramo.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda em x=1:
Como x^{2}-1 é contínuo, basta substituir x=1 para obter a aproximação pela esquerda: