Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
11 f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2}-1 & \text { se } & x<1 \\\\ 4-x & \text { se } & x \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} x^{2}-1 & \text{se } x<1,\\[4pt] 4-x & \text{se } x\ge 1, \end{cases}
e pede para classificar as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto ou infinitas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é definida por duas expressões diferentes à esquerda e à direita de x=1.
  • As expressões são \;x^{2}-1 para x<1 e \;4-x para x\ge 1.
  • Possíveis pontos problemáticos são pontos onde a definição muda: aqui, x=1.]

Passo 2

Relembrando conceitos que vamos usar (com calma e sem pressa):
  • Dizemos que f é contínua em um ponto a se existir \lim_{x\to a} f(x) e esse limite for igual a f(a). Ou seja, a função não “salta” nem “explode” naquele ponto.
  • Limites laterais: \lim_{x\to a^-} f(x) (aproximação pela esquerda) e \lim_{x\to a^+} f(x) (pela direita). Se esses dois existirem e forem iguais, o limite \lim_{x\to a} f(x) existe e é esse valor comum.
  • Tipos de descontinuidade (resumo prático):
    • Removível: as duas laterais existem e são iguais, mas ou f(a) não está definido, ou f(a) é diferente desse valor. Dá para “consertar” definindo f(a) corretamente.
    • Tipo salto (descontinuidade por salto): as duas laterais existem e são finitas, mas são diferentes entre si. A função “salta” de um valor para outro em a.
    • Infinita: pelo menos uma das laterais diverge para \pm\infty.

Passo 3

Observar onde a função pode ser descontinua:
  • Para x<1, a expressão é x^{2}-1, que é um polinômio; polinômios são contínuos em todos os reais.
  • Para x>1, a expressão é 4-x, que é linear; funções lineares são contínuas em todos os reais.
  • Logo, não há descontinuidade em nenhum ponto diferente de x=1. O único ponto a verificar é x=1, onde a definição muda de ramo.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda em x=1:
  • Como x^{2}-1 é contínuo, basta substituir x=1 para obter a aproximação pela esquerda:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (x^{2}-1)=1^{2}-1=0.

Passo 5

Calcular o limite pela direita em x=1:
  • Como 4-x é contínua, substituímos x=1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (4-x)=4-1=3.

Passo 6

Calcular o valor da função em x=1:
  • A definição dita que, para x\ge 1, f(x)=4-x. Logo
f(1)=4-1=3.

Passo 7

Comparar limites laterais e valor de f(1):
  • Encontramos \lim_{x\to 1^-} f(x)=0 e \lim_{x\to 1^+} f(x)=3.
  • As duas laterais existem e são finitas, mas são diferentes ( 0\neq 3). Portanto \lim_{x\to 1} f(x) não existe.
  • Pelo fato de as laterais serem finitas e diferentes, essa é uma descontinuidade do tipo salto. (O tamanho do salto é 3-0=3.)

Resposta

Descontinuidade do tipo salto em x=1.

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