Exercs. 55-58: Verifique o teorema do valor intermediário (2.26) para
no intervalo indicado
mostrando que se
, então
para algum
em
.
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Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo:
-
. - Intervalo
.
O que pedir: mostrar que se
então existe algum
tal que
. Em outras palavras, verificar o enunciado do teorema (2.26) para esta função e intervalo: para todo
entre os valores de
nas extremidades do intervalo existe um ponto interior que assume esse valor.
Passo 2
Idea e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
- O teorema do valor intermediário afirma: se uma função
é contínua em um intervalo fechado e , então existe tal que . - Então, para aplicar o teorema precisamos apenas verificar que
é contínua em . Explicando continuidade de forma simples: dizer que é contínua em cada ponto significa que os valores ficam cada vez mais próximos de quando fica próximo de ; formalmente . - Propriedade útil: polinômios (como
) são funções construídas por soma e potência de . Soma, produto e potência de funções contínuas resultam em funções contínuas. Logo qualquer polinômio é contínuo em toda a reta. Portanto é contínua em todo , e em particular em .
Passo 3
Calcular os valores nas extremidades (isto é informação que vamos usar no teorema):
-
. -
.
Portanto os valores extremos são
e
. Assim a hipótese do enunciado fica: seja
tal que
.
Passo 4
Aplicar o teorema do valor intermediário:
- Já mostramos que
é contínua em . - Como
, pelo teorema do valor intermediário existe ao menos um tal que .
Isso já completa a verificação pedida. Vou reforçar com um cálculo explícito do ponto
que resolve a equação
, para ficar mais concreto e mostrar como encontrar
na prova ou na hora da prova:
- Resolver
dá e portanto
- Observe que se
então . Como a função é crescente (a raiz cúbica é uma função contínua e estritamente crescente), temos
ou seja
. E por construção
.
Passo 5
Comentário sobre unicidade (opcional, útil para prova): a função
é estritamente crescente (porque, por exemplo, para
tem-se
), logo o
que satisfaz
é único. Isso não era exigido, mas é um bônus: existe exatamente um
para cada
.
Resposta
Para todo
com
existe
tal que
.