Exercs. 55-58: Verifique o teorema do valor intermediário (2.26) para f no intervalo indicado [a, b] mostrando que se f(a) \leq w \leq f(b), então f\text{(c)}=w para algum c em [a, b].
55 f(x)=x^{3}+1 ;[-1,2]

Passo 1

O enunciado dá a função f e o intervalo:
  • f(x)=x^{3}+1.
  • Intervalo [a,b]=[-1,2].
O que pedir: mostrar que se f(a)\le w\le f(b) então existe algum c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=w. Em outras palavras, verificar o enunciado do teorema (2.26) para esta função e intervalo: para todo w entre os valores de f nas extremidades do intervalo existe um ponto interior que assume esse valor.

Passo 2

Idea e ferramenta que vamos usar (explicação didática):
  • O teorema do valor intermediário afirma: se uma função g é contínua em um intervalo fechado [u,v] e g(u)\le W\le g(v), então existe t\in[u,v] tal que g(t)=W.
  • Então, para aplicar o teorema precisamos apenas verificar que f é contínua em [-1,2]. Explicando continuidade de forma simples: dizer que f é contínua em cada ponto x_0 significa que os valores f(x) ficam cada vez mais próximos de f(x_0) quando x fica próximo de x_0; formalmente \lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).
  • Propriedade útil: polinômios (como x^3+1) são funções construídas por soma e potência de x. Soma, produto e potência de funções contínuas resultam em funções contínuas. Logo qualquer polinômio é contínuo em toda a reta. Portanto f(x)=x^{3}+1 é contínua em todo \mathbb{R}, e em particular em [-1,2].

Passo 3

Calcular os valores nas extremidades (isto é informação que vamos usar no teorema):
  • f(-1)=(-1)^{3}+1=-1+1=0.
  • f(2)=2^{3}+1=8+1=9.
Portanto os valores extremos são f(a)=f(-1)=0 e f(b)=f(2)=9. Assim a hipótese do enunciado fica: seja w tal que 0\le w\le 9.

Passo 4

Aplicar o teorema do valor intermediário:
  • Já mostramos que f é contínua em [-1,2].
  • Como f(-1)=0\le w\le 9=f(2), pelo teorema do valor intermediário existe ao menos um c\in[-1,2] tal que f\text{(c)}=w.
Isso já completa a verificação pedida. Vou reforçar com um cálculo explícito do ponto c que resolve a equação f\text{(c)}=w, para ficar mais concreto e mostrar como encontrar c na prova ou na hora da prova:
  • Resolver x^{3}+1=w x^{3}=w-1 e portanto
c=\sqrt[3]{\,w-1\,}.
  • Observe que se w\in[0,9] então w-1\in[-1,8]. Como a função \sqrt[3]{\cdot} é crescente (a raiz cúbica é uma função contínua e estritamente crescente), temos
\sqrt[3]{-1}=-1\le \sqrt[3]{w-1}\le \sqrt[3]{8}=2,
ou seja c\in[-1,2]. E por construção f\text{(c)}=c^{3}+1=w.

Passo 5

Comentário sobre unicidade (opcional, útil para prova): a função f(x)=x^{3}+1 é estritamente crescente (porque, por exemplo, para x>y tem-se x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})>0), logo o c que satisfaz f\text{(c)}=w é único. Isso não era exigido, mas é um bônus: existe exatamente um c\in[-1,2] para cada w\in[0,9].

Resposta

Para todo w com 0\le w\le 9 existe c=\sqrt[3]{\,w-1\,}\in[-1,2] tal que f\text{(c)}=w.

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