Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
13 f(x)=\left\{\begin{array}{lll}|x+3| & \text { se } & x \neq-2 \\\\ 2 & \text { se } & x=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\begin{cases} |x+3| & \text{se } x\neq -2,\\[4pt] 2 & \text{se } x=-2. \end{cases}
A pergunta é: classificar a descontinuidade de f no ponto x=-2 — isto é, determinar se é removível, do tipo salto, ou infinita.]

Passo 2

Relembrando o que significa cada tipo de descontinuidade (com linguagem simples):
  • Descontinuidade removível: o limite \lim_{x\to a} f(x) existe (esquerdo e direito igual e finito), mas ou f(a) é diferente desse limite ou f(a) não está definido. Podemos “consertar” redefinindo f(a) igual ao limite.
  • Descontinuidade do tipo salto: as limitações laterais existem e são finitas, mas não são iguais; isto é, \lim_{x\to a^-} f(x)\neq\lim_{x\to a^+} f(x).
  • Descontinuidade infinita: pelo menos uma das limitações laterais é infinita (tende a +\infty ou -\infty).
Vou aplicar essas definições em a=-2.

Passo 3

Primeiro, calcular o limite \lim_{x\to -2} |x+3|\). Para isso é útil lembrar que a função valor absoluto é contínua onde o argumento é contínuo; mais concretamente: \[|x+3|=\begin{cases} x+3 & \text{se } x+3\ge 0\\ (\text{ou seja } x\ge -3),\\[4pt] -(x+3) & \text{se } x+3<0\\ (\text{ou seja } x< -3). \end{cases}
Como o ponto em questão é x=-2\] e \(-2\ge -3, perto de -2 o valor absoluto comporta-se como a função linear x+3. Logo podemos usar essa expressão para calcular o limite.]

Passo 4

Calcular o limite usando a expressão linear válida perto de -2:
\lim_{x\to -2} |x+3| = \lim_{x\to -2} (x+3).
Como x+3 é uma função polinomial (linear), ela é contínua, então basta substituir x=-2:
\lim_{x\to -2} (x+3) = (-2)+3 = 1.
Portanto \displaystyle \lim_{x\to -2} |x+3| = 1. Isso significa que as limitações laterais existem e coincidem em 1.

Passo 5

Agora verificar o valor de f em -2 dado pelo enunciado:
f(-2)=2.

Passo 6

Comparar o limite com o valor da função em -2:
\lim_{x\to -2} f(x)=1 \quad\text{e}\quad f(-2)=2.
Como o limite existe e é finito, mas f(-2) é diferente desse limite, temos exatamente o caso de descontinuidade removível (a função “pula” apenas no valor do ponto, mas as duas laterais convergem para o mesmo número).

Passo 7

Interpretação prática e dica para prova: graficamente, a curva y=|x+3| passa por (-2,1). A definição f(-2)=2 coloca um ponto isolado em (-2,2). Isso é um clássico “buraco” preenchido com o ponto errado — é removível porque bastaria definir f(-2)=1 para que a função ficasse contínua em -2. Em prova faça sempre:
  1. calcule \lim_{x\to a} f(x) (testar left/right se necessário);
  2. compare com f(a).
    Se limite existe e difere de f(a) (ou f(a) ausente) → removível.

Resposta

removível

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