Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
12 f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{3} & \text { se } & x \leq 1 \\\\ 3-x & \text { se } & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes e pede para classificar as descontinuidades como removíveis, de salto (tipo salto) ou infinitas.
Informações fornecidas:
  • A função é
f(x)=\begin{cases} x^{3}, & \text{se } x \leq 1,\\[4pt] 3-x, & \text{se } x>1. \end{cases}
  • A pergunta é: em quais pontos f é descontínua e, para cada descontinuidade encontrada, dizer se é removível, de salto ou infinita.
Pontos relevantes a observar (extraídos do enunciado):
  • A definição da função muda em x=1. Portanto, x=1 é o único ponto onde pode haver descontinuidade (as expressões em cada ramo são funções elementares definidas em todo o restante dos reais).]

Passo 2

Conceitos que vou usar (aula rápida e direta):
  • Uma função f é contínua em um ponto a se e somente se existir \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Para funções definidas por partes, é útil comparar os limites laterais:
    • a limite à esquerda é \lim_{x\to a^-} f(x);
    • a limite à direita é \lim_{x\to a^+} f(x).
      Classificação prática:
  • Se \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L e f(a)\neq L (ou f(a) não está definido), então a descontinuidade é removível (pode-se redefinir f(a)=L para tornar f contínua).
  • Se \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x) existem e são finitos, mas são diferentes entre si, isto é, \lim_{x\to a^-} f(x)\neq\lim_{x\to a^+} f(x), então a descontinuidade é do tipo salto (jump).
  • Se pelo menos uma das limites laterais diverge para infinito (ou não existe por comportamento não finito), então é descontinuidade infinita.

Passo 3

Observação geral sobre os ramos:
  • O ramo \,x^{3}\, é um polinômio; polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}. Assim, na parte x<1 e até x=1 (quando usado o ramo), não haverá outras descontinuidades.
  • O ramo \,3-x\, é uma função linear; funções lineares são contínuas em todo \mathbb{R}. Assim, na parte x>1 não há descontinuidade interior.
    Conclusão desta etapa: a única possível descontinuidade está em x=1, ponto onde a definição muda.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda em x=1:
  • Como x^{3} é contínuo, pode-se simplesmente substituir x=1 para obter a limite:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} x^{3} = 1^{3} = 1.

Passo 5

Calcular o limite pela direita em x=1:
  • Como 3-x é contínuo, substitui-se x=1:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (3-x)=3-1=2.

Passo 6

Calcular o valor da função em x=1:
  • Pelo enunciado, para x\leq 1 usamos o ramo x^{3}, logo
f(1)=1^{3}=1.

Passo 7

Compare os resultados:
  • \lim_{x\to 1^-} f(x)=1.
  • \lim_{x\to 1^+} f(x)=2.
  • f(1)=1.
Interpretação:
  • As duas limites laterais existem e são finitas, porém são diferentes ( 1\neq 2). Isso é a definição de descontinuidade de salto.
  • Não é removível porque a limite bilateral \lim_{x\to1} f(x) não existe (os lados não coincidem).
  • Também não é infinita porque ambos os limites laterais são finitos.

Passo 8

Resumo prático (como agir na prova):
  • Identifique pontos onde a definição muda ou onde a função pode não estar definida.
  • Calcule \lim_{x\to a^-} f(x), \lim_{x\to a^+} f(x) e f(a).
  • Use as regras de classificação dadas no Passo 2.
    Boa notícia: aqui deu um cálculo curtinho — respira! — e o tipo de descontinuidade ficou claro por comparar dois números.

Resposta

Descontinuidade de salto em x=1.

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