Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
12 f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{3} & \text { se } & x \leq 1 \\\\ 3-x & \text { se } & x>1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função por partes e pede para classificar as descontinuidades como removíveis, de salto (tipo salto) ou infinitas.
A pergunta é: em quais pontos f é descontínua e, para cada descontinuidade encontrada, dizer se é removível, de salto ou infinita.
Pontos relevantes a observar (extraídos do enunciado):
A definição da função muda em x=1. Portanto, x=1 é o único ponto onde pode haver descontinuidade (as expressões em cada ramo são funções elementares definidas em todo o restante dos reais).]
Passo 2
Conceitos que vou usar (aula rápida e direta):
Uma função f é contínua em um ponto a se e somente se existir \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para funções definidas por partes, é útil comparar os limites laterais:
a limite à esquerda é \lim_{x\to a^-} f(x);
a limite à direita é \lim_{x\to a^+} f(x).
Classificação prática:
Se \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L e f(a)\neq L (ou f(a) não está definido), então a descontinuidade é removível (pode-se redefinir f(a)=L para tornar f contínua).
Se \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x) existem e são finitos, mas são diferentes entre si, isto é, \lim_{x\to a^-} f(x)\neq\lim_{x\to a^+} f(x), então a descontinuidade é do tipo salto (jump).
Se pelo menos uma das limites laterais diverge para infinito (ou não existe por comportamento não finito), então é descontinuidade infinita.
Passo 3
Observação geral sobre os ramos:
O ramo \,x^{3}\, é um polinômio; polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}. Assim, na parte x<1 e até x=1 (quando usado o ramo), não haverá outras descontinuidades.
O ramo \,3-x\, é uma função linear; funções lineares são contínuas em todo \mathbb{R}. Assim, na parte x>1 não há descontinuidade interior.
Conclusão desta etapa: a única possível descontinuidade está em x=1, ponto onde a definição muda.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda em x=1:
Como x^{3} é contínuo, pode-se simplesmente substituir x=1 para obter a limite:
Pelo enunciado, para x\leq 1 usamos o ramo x^{3}, logo
f(1)=1^{3}=1.
Passo 7
Compare os resultados:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=1.
\lim_{x\to 1^+} f(x)=2.
f(1)=1.
Interpretação:
As duas limites laterais existem e são finitas, porém são diferentes (1\neq 2). Isso é a definição de descontinuidade de salto.
Não é removível porque a limite bilateral \lim_{x\to1} f(x) não existe (os lados não coincidem).
Também não é infinita porque ambos os limites laterais são finitos.
Passo 8
Resumo prático (como agir na prova):
Identifique pontos onde a definição muda ou onde a função pode não estar definida.
Calcule \lim_{x\to a^-} f(x), \lim_{x\to a^+} f(x) e f(a).
Use as regras de classificação dadas no Passo 2.
Boa notícia: aqui deu um cálculo curtinho — respira! — e o tipo de descontinuidade ficou claro por comparar dois números.