Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais
é contínua.
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Passo 1
O enunciado pede: “Ache todos os valores para os quais
é contínua” para a função dada. A informação fornecida é:
- A função é
.
Passo 2
Lembrete básico e intuitivo sobre continuidade (vai ajudar na prova): uma função
é contínua num ponto
se o valor de
em
coincide com o limite quando
tende a
:
Na prática, para funções formadas por operações padrão (polinômios, senos, cossenos, somas, produtos, razões quando o denominador não é zero, composições), a continuidade é automática onde a expressão está bem definida. Ou seja: se uma função é dada como uma composição de funções contínuas e não aparece divisão por zero no ponto, então ela é contínua nesse ponto.
Passo 3
Reescrevendo a função de modo explícito:
Agora alguns fatos úteis que uso:
- A função
é contínua em todo . - A composição
é contínua em todo porque e são contínuas. - A função
é contínua em todo ponto onde .
Portanto,
será contínua exatamente nos pontos
onde
. Ou seja, os únicos possíveis pontos de descontinuidade são os zeros de
.
Passo 4
Agora determinamos todos os
tais que
. Sabemos que
quando
Tomando
obtemos
Dividindo por
,
Esses são exatamente os pontos onde
e, portanto, onde
não está definida (e não pode ser contínua).
Passo 5
Concluindo:
é contínua em todos os
exceto nos pontos
com
. Em notação de conjunto:
ou de forma compacta
Passo 6
Dica rápida para a prova (resumindo e fácil de decorar): para
ou
, basta achar onde o denominador é zero; em todos os outros pontos a função é contínua porque as trigonométricas são contínuas. Vai dar certo e é rápido na prova — respira e manda ver!