Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais f é contínua.
54 f(x)=\operatorname{sec} 3 x

Passo 1

O enunciado pede: “Ache todos os valores para os quais f é contínua” para a função dada. A informação fornecida é:
  • A função é f(x)=\operatorname{sec} 3x.

Passo 2

Lembrete básico e intuitivo sobre continuidade (vai ajudar na prova): uma função f é contínua num ponto a se o valor de f em a coincide com o limite quando x tende a a:
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Na prática, para funções formadas por operações padrão (polinômios, senos, cossenos, somas, produtos, razões quando o denominador não é zero, composições), a continuidade é automática onde a expressão está bem definida. Ou seja: se uma função é dada como uma composição de funções contínuas e não aparece divisão por zero no ponto, então ela é contínua nesse ponto.

Passo 3

Reescrevendo a função de modo explícito:
f(x)=\operatorname{sec} 3x=\frac{1}{\cos(3x)}.
Agora alguns fatos úteis que uso:
  • A função \cos é contínua em todo \mathbb{R}.
  • A composição x\mapsto \cos(3x) é contínua em todo \mathbb{R} porque x\mapsto 3x e \cos são contínuas.
  • A função g(t)=1/t é contínua em todo ponto onde t\neq0.
Portanto, f(x)=1/\cos(3x) será contínua exatamente nos pontos x onde \cos(3x)\neq0. Ou seja, os únicos possíveis pontos de descontinuidade são os zeros de \cos(3x).

Passo 4

Agora determinamos todos os x tais que \cos(3x)=0. Sabemos que \cos \theta=0 quando
\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Tomando \theta=3x obtemos
3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 3,
x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Esses são exatamente os pontos onde \cos(3x)=0 e, portanto, onde f não está definida (e não pode ser contínua).

Passo 5

Concluindo: f é contínua em todos os x\in\mathbb{R} exceto nos pontos x=\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3} com k\in\mathbb{Z}. Em notação de conjunto:
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac{\pi}{6}+k\tfrac{\pi}{3},\\ k\in\mathbb{Z}\}
ou de forma compacta
\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3}\colon k\in\mathbb{Z}\right\}.

Passo 6

Dica rápida para a prova (resumindo e fácil de decorar): para \operatorname{sec}(\text{algo}) ou 1/(\text{função trig})çã, basta achar onde o denominador é zero; em todos os outros pontos a função é contínua porque as trigonométricas são contínuas. Vai dar certo e é rápido na prova — respira e manda ver!

Resposta

\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{6}+k\dfrac{\pi}{3}\colon k\in\mathbb{Z}\right\}

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