Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
14 f(x)=\left\{\begin{array}{lll}|x-1| & \text { se } & x \neq 1 \\\\ 1 & \text { se } & x=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se classifiquem as descontinuidades da função
f(x)=\begin{cases} |x-1| & \text{se } x\neq 1,\\[4pt] 1 & \text{se } x=1. \end{cases}
Perguntas que o problema faz:
  • Em que pontos f pode ser descontinua?
  • Para cada ponto onde houver descontinuidade, qual é o tipo: removível, salto (descontinuidade de primeira espécie) ou infinita?
Informações relevantes dadas:
  • A definição explícita de f para x\neq 1 é |x-1|.
  • O valor pontual em x=1 é f(1)=1.
  • Para x\neq 1, a expressão |x-1| é uma função conhecida e contínua nesses pontos.]

Passo 2

Vamos lembrar (com calma) as definições que precisamos usar.
Definição de continuidade num ponto \,a: a função f é contínua em \,a se e somente se:
  1. \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito,
  2. f(a) está definido,
  3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Tipos de descontinuidade (resumo intuitivo):
  • Removível: \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito, mas \lim_{x\to a} f(x)\neq f(a) ou f(a) não está definido. Dá para “consertar” definindo f(a) igual ao limite.
  • Descontinuidade de salto (tipo salto): as limites laterais \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x) existem e são finitos, mas são diferentes entre si.
  • Descontinuidade infinita: pelo menos uma das limites laterais diverge para \pm\infty.
Vou aplicar essas ideias ao ponto potencial de problema: \,x=1.

Passo 3

Analisar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de \,1 (limites laterais).
Para x próximo de 1 mas menor que 1 (aproximação pela esquerda): \,x<1. Então
|x-1| = 1-x.
Assim
\lim_{x\to 1^-} |x-1| = \lim_{x\to 1^-} (1-x) = 0,
porque 1-x tende a 0 quando x\to 1.
Para x próximo de 1 mas maior que 1 (aproximação pela direita): \,x>1. Então
|x-1| = x-1.
Logo
\lim_{x\to 1^+} |x-1| = \lim_{x\to 1^+} (x-1) = 0.
Portanto as duas limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=0.
Como as duas são iguais, o limite \lim_{x\to 1} f(x) existe e vale
\lim_{x\to 1} f(x)=0.

Passo 4

Comparar o limite com o valor pontual [f(1)).
Já vimos que \lim_{x\to 1} f(x)=0. Mas o enunciado dá f(1)=1. Ou seja,
\lim_{x\to 1} f(x)=0 \neq 1=f(1).
As três condições de continuidade em x=1 não são todas satisfeitas: o limite existe e é finito, mas não coincide com o valor f(1). Isso é exatamente o caso de uma descontinuidade removível.
Explicação intuitiva e como “consertar”: existe um buraco na curva em x=1 — o valor natural que a função deveria ter, se fosse contínua, é 0. Se redefinirmos f(1) para 0, ou seja, se considerarmos a função
\tilde f(x)=\begin{cases} |x-1| & \text{se } x\neq 1,\\[4pt] 0 & \text{se } x=1, \end{cases}
então \tilde f\] seria contínua em \(x=1. Por isso a descontinuidade é chamada de removível.]

Passo 5

Verificação rápida dos demais pontos: para todo x\neq 1 a função é |x-1|, e a função valor absoluto é contínua em todos os pontos reais. Logo não há outras descontinuidades além de, possivelmente, em \,x=1, que já classificamos.

Resposta

Descontinuidade removível em x=1.

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