Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
15 f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2}+1 & \text { se } & x<1 \\\\ 1 & \text { se } & x=1 \\\ x+1 & \text { se } & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: classificar as descontinuidades de f\) como removíveis, tipo salto, ou infinitas. A função dada é \[f(x)=\begin{cases} x^{2}+1, & \text{se } x<1,\\[4pt] 1, & \text{se } x=1,\\[4pt] x+1, & \text{se } x>1. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<1\] a regra é \(x^{2}+1.
  • Para x=1 a regra é 1.
  • Para x>1 a regra é x+1.
  • O ponto onde as regras mudam é x=1; fora disso as expressões são polinômios/linéares.]

Passo 2

Antes de calcular, vamos revisar o que signifca cada tipo de descontinuidade (com calma, como se estivéssemos anotando no caderno).
  • Continuidade em um ponto a: f é contínua em a exatamente quando \lim_{x\to a} f(x) existe (como número finito) e
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Limites laterais: \lim_{x\to a^-} f(x) é o limite quando x se aproxima de a vindo da esquerda; \lim_{x\to a^+} f(x) é vindo da direita. O limite \lim_{x\to a} f(x) existe se e somente se os dois limites laterais existem e são iguais.
  • Tipos de descontinuidade:
    • Removível: \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito, mas \lim_{x\to a} f(x)\neq f(a). Dá para “consertar” definindo f(a) igual ao limite.
    • Tipo salto: \lim_{x\to a^-} f(x) e \lim_{x\to a^+} f(x) existem e são finitos, mas são diferentes entre si. Há um salto entre os dois valores.
    • Infinita: pelo menos um dos limites laterais diverge para +\infty ou -\infty.

Passo 3

Identificar pontos candidatos a descontinuidade: as regras da função mudam apenas em x=1. Como polinômios e funções lineares são contínuos em todo ponto do domínio, só precisamos investigar x=1. Em todo x\neq1 a função é contínua.

Passo 4

Calcular o limite à esquerda em x=1. Para x<1 temos f(x)=x^{2}+1. Polinômios são contínuos, então podemos simplesmente fazer a substituição:
\lim_{x\to1^-} f(x)=\lim_{x\to1^-} (x^{2}+1)=1^{2}+1=2.
Explanação curta: como x^{2}+1 é contínua, o limite quando x\to1 é o valor da função naquele ponto, isto é 2.

Passo 5

Calcular o limite à direita em x=1. Para x>1 temos f(x)=x+1. Função linear é contínua, então:
\lim_{x\to1^+} f(x)=\lim_{x\to1^+} (x+1)=1+1=2.

Passo 6

Determinar o limite bilateral em x=1. Como os limites laterais coincidem:
\lim_{x\to1^-} f(x)=2\quad\text{e}\quad\lim_{x\to1^+} f(x)=2,
logo
\lim_{x\to1} f(x)=2.

Passo 7

Comparar o limite com o valor da função em x=1. O enunciado dá f(1)=1. Ou seja:
\lim_{x\to1} f(x)=2\quad\text{mas}\quad f(1)=1.
Portanto o limite existe e é finito, porém não coincide com f(1).

Passo 8

Classificação da descontinuidade: pelo critério do Passo 2, quando o limite bilateral existe e é finito, mas difere de f(a), a descontinuidade é removível. Aqui isso se aplica em x=1. Esclarecimento adicional: não é descontinuidade do tipo salto porque os limites laterais são iguais (não há salto), e não é infinita porque os limites são finitos.
Observação prática (útil para prova): para “remover” a descontinuidade bastaria redefinir f(1)=2. Após essa redefinição a função ficaria contínua em x=1.

Resposta

\text{Descontinuidade removível em } x=1.í

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