Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
16 f(x)=\left\{\begin{array}{lll}-x^{2} & \text { se } & x<1 \\\\ 1 & \text { se } & x=1 \\\ x-2 & \text { se } & x>1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para classificar as descontinuidades de f\) como removíveis, do tipo salto, ou infinitas. A função é dada por
\[f(x)=\begin{cases} -x^{2}, & \text{se } x<1,\\[4pt] 1, & \text{se } x=1,\\[4pt] x-2, & \text{se } x>1. \end{cases}
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A função é definida por três ramos, um para x<1\], um valor no ponto \(x=1 e outro para x>1.
Qualquer possível descontinuidade só pode ocorrer no ponto de junção x=1. Para x\neq1 os ramos são polinômios (ou funções afins) definidos em intervalos abertos.
O enunciado pede a classificação da (ou das) descontinuidade(s) usando as categorias: removível, salto, ou infinita.]
Passo 2
Vou explicar rapidamente o que significam as três classificações (em linguagem simples):
Descontinuidade removível: as duas limites laterais existem e são iguais a um número finito L, mas ou f(1) não está definido ou f(1)\neq L. Nesses casos basta redefinir f(1)=L para tornar a função contínua em 1.
Descontinuidade do tipo salto: os limites laterais existem mas são diferentes; isto é, \lim_{x\to1^-}f(x) e \lim_{x\to1^+}f(x) existem finitos e são distintos. Há um “salto” entre os valores à esquerda e à direita.
Descontinuidade infinita: pelo menos uma das limites laterais diverge para +\infty ou -\infty (não é finita).
Passo 3
Observação sobre os ramos fora de x=1: polinômios e funções afins (como -x^{2} e x-2) são contínuos em todo \mathbb{R}. Isso significa que para qualquer ponto a\neq1 a função é contínua (logo não há descontinuidade nesses pontos). Portanto só precisamos analisar o comportamento de f em x=1.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda em x=1. O ramo para x<1 é -x^{2}, que é contínuo, então seu limite ao aproximar 1 pela esquerda é o valor da função no ponto 1 (pela continuidade do polinômio). Assim:
Temos \lim_{x\to1^-} f(x) = -1 e \lim_{x\to1^+} f(x) = -1. Como os dois limites laterais são iguais e finitos, o limite bidirecional existe e é
\lim_{x\to1} f(x) = -1.
Contudo o valor dado pela definição é f(1)=1, que é diferente de -1.
Pelo critério das classificações, isso caracteriza uma descontinuidade removível em x=1: os limites existem e coincidem em -1 (número finito), mas o valor da função no ponto não bate com esse limite. Não é uma descontinuidade do tipo salto (porque não há diferença entre limites laterais) e não é infinita (porque os limites são finitos).
Além disso, para tornar f contínua em 1 bastaria redefinir f(1)=-1.
Passo 7
Resumo final da análise:
A função é contínua para todo x\neq1.
Em x=1 há uma descontinuidade removível (porque \lim_{x\to1}f(x)=-1 e f(1)=1\neq-1).
Resposta
Em x=1: descontinuidade removível.
Em todo x\neq1: contínua.