Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de
como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
[c] 18
[c] 18
Passo 1
O enunciado pede para classificar as descontinuidades de
como removíveis, do tipo salto ou infinitas, para a função
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função está expressa como uma razão de duas expressões; pode haver problemas quando o denominador for
. - O denominador
anula-se quando . Portanto é o único ponto onde a função pode ser descontínua. - Para
tanto o numerador quanto o denominador são funções elementares contínuas, logo é contínua em todo ponto .
Logo o problema reduz-se a analisar o comportamento dequando (limites laterais) e, a partir disso, classificar a descontinuidade em .
Passo 2
Verificar o valor da função no ponto
e qual a forma da indeterminação:
- Avaliando o numerador em
:
- O denominador em
é .
Portanto emtemos a forma se apenas substituirmos, o que indica que é necessário estudar o limite para decidir o tipo de descontinuidade.
Passo 3
Usar uma técnica padrão: escrever
em fatoração e usar o limite conhecido
.
Primeiro observe a fatoração
Defina
. Então
quando
. Reescrevendo
:
Agora escrevemos a fração de forma conveniente multiplicando e dividindo por
:
Substituindo
na segunda fração:
Logo, para
,
Passo 4
Tomamos agora o limite quando
. Usamos que
, isto é,
Portanto
Mas
é uma expressão que tem denominador tendendo a
. Para entender melhor, calculemos os limites laterais.
Passo 5
Cálculo dos limites laterais:
- Quando
temos pequeno, então . Assim
- Quando
temos pequeno, então . Assim
Os limites laterais não são finitos (são infinitos) e ainda por cima têm sinais opostos.
Passo 6
Interpretação e classificação:
- Como os limites laterais em
divergem para infinito (não existe limite finito) a descontinuidade em não é removível. - Como os limites laterais não são finitos, também não é uma descontinuidade do tipo salto.
- Pelo contrário, trata-se de uma descontinuidade infinita (vertical), com
e .
Resposta
Descontinuidade infinita em
(com
e
).