Exercs. 11-18: Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas.
[c] 18 f(x)=\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}-1\right)}{(x-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar as descontinuidades de f como removíveis, do tipo salto ou infinitas, para a função
f(x)=\frac{\sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)}{(x-1)^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função está expressa como uma razão de duas expressões; pode haver problemas quando o denominador for 0.
  • O denominador (x-1)^{2} anula-se quando x=1. Portanto x=1 é o único ponto onde a função pode ser descontínua.
  • Para x\neq1 tanto o numerador quanto o denominador são funções elementares contínuas, logo f é contínua em todo ponto x\neq1.
    Logo o problema reduz-se a analisar o comportamento de f(x) quando x\to1 (limites laterais) e, a partir disso, classificar a descontinuidade em x=1.

Passo 2

Verificar o valor da função no ponto x=1 e qual a forma da indeterminação:
  • Avaliando o numerador em x=1:
\sin\!\bigl(1^{2}-1\bigr)=\sin(0)=0.
  • O denominador em x=1 é (1-1)^{2}=0.
    Portanto em x=1 temos a forma 0/0 se apenas substituirmos, o que indica que é necessário estudar o limite \displaystyle\lim_{x\to1}f(x) para decidir o tipo de descontinuidade.

Passo 3

Usar uma técnica padrão: escrever x^{2}-1 em fatoração e usar o limite conhecido \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
Primeiro observe a fatoração
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Defina u=x^{2}-1. Então u\to0 quando x\to1. Reescrevendo f(x):
f(x)=\frac{\sin(u)}{(x-1)^{2}}.
Agora escrevemos a fração de forma conveniente multiplicando e dividindo por u:
f(x)=\frac{\sin(u)}{u}\cdot\frac{u}{(x-1)^{2}}.
Substituindo u=(x-1)(x+1) na segunda fração:
\frac{u}{(x-1)^{2}}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x+1}{x-1}.
Logo, para x\neq1,
f(x)=\frac{\sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)}{x^{2}-1}\cdot\frac{x+1}{x-1}.

Passo 4

Tomamos agora o limite quando x\to1. Usamos que \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, isto é,
\lim_{x\to1}\frac{\sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)}{x^{2}-1}=1.
Portanto
\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{\sin\!\bigl(x^{2}-1\bigr)}{x^{2}-1}\cdot\frac{x+1}{x-1} =1\cdot\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x-1}.
Mas
\lim_{x\to1}\frac{x+1}{x-1}
é uma expressão que tem denominador tendendo a 0. Para entender melhor, calculemos os limites laterais.

Passo 5

Cálculo dos limites laterais:
  • Quando x\to1^{+} temos x-1>0 pequeno, então \dfrac{x+1}{x-1}\to+\infty. Assim
\lim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty.
  • Quando x\to1^{-} temos x-1<0 pequeno, então \dfrac{x+1}{x-1}\to-\infty. Assim
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=-\infty.
Os limites laterais não são finitos (são infinitos) e ainda por cima têm sinais opostos.

Passo 6

Interpretação e classificação:
  • Como os limites laterais em x=1 divergem para infinito (não existe limite finito) a descontinuidade em x=1 não é removível.
  • Como os limites laterais não são finitos, também não é uma descontinuidade do tipo salto.
  • Pelo contrário, trata-se de uma descontinuidade infinita (vertical), com \lim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to1^{-}}f(x)=-\infty.

Resposta

Descontinuidade infinita em x=1 (com \lim_{x\to1^{+}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to1^{-}}f(x)=-\infty).

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