Exercs. 19-22: Mostre que f é contínua em a.
20 f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2} ;\quad a=-5
Passo 1
O enunciado dá a função f e o ponto a:
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2},\qquad a=-5.
A pergunta é: mostrar que f é contínua em a=-5. Ou seja, provar que
\lim_{x\to -5} f(x)=f(-5).
Passo 2
Lembrando a definição precisa de continuidade que vou usar (forma ε–δ): uma função f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |x-a|<\delta temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Vou fazer uma prova ε–δ: dado \varepsilon>0 vou encontrar um \delta>0 que garante |f(x)-f(-5)|<\varepsilon sempre que |x+5|<\delta.
então, sempre que |x+5|<\delta, teremos |f(x)-3|<\varepsilon.
Passo 7
Conclui-se pela definição ε–δ de continuidade que, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta dado em Passo 6) tal que |x+5|<\delta implica |f(x)-f(-5)|<\varepsilon. Portanto f é contínua em a=-5.