Exercs. 19-22: Mostre que f é contínua em a.
20 f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2} ;\quad a=-5

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto a:
f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+2},\qquad a=-5.
A pergunta é: mostrar que f é contínua em a=-5. Ou seja, provar que
\lim_{x\to -5} f(x)=f(-5).

Passo 2

Lembrando a definição precisa de continuidade que vou usar (forma ε–δ): uma função f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |x-a|<\delta temos |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Vou fazer uma prova ε–δ: dado \varepsilon>0 vou encontrar um \delta>0 que garante |f(x)-f(-5)|<\varepsilon sempre que |x+5|<\delta.

Passo 3

Calcular o valor de f no ponto a=-5:
f(-5)=\sqrt[3]{(-5)^{2}+2}=\sqrt[3]{25+2}=\sqrt[3]{27}=3.

Passo 4

Para simplificar a diferença |f(x)-3| uso a fatoração de diferença de cubos. Se u=\sqrt[3]{x^{2}+2} então u^{3}=x^{2}+2 e 3^{3}=27. A identidade é
u-3=\frac{u^{3}-3^{3}}{u^{2}+3u+3^{2}}.
Aplicando isso ao nosso caso obtemos, em valor absoluto,
\bigl|f(x)-3\bigr| = \frac{\bigl|x^{2}+2-27\bigr|}{u^{2}+3u+9} = \frac{\bigl|x^{2}-25\bigr|}{u^{2}+3u+9},
onde u=\sqrt[3]{x^{2}+2}.

Passo 5

Agora faço estimativas para controlar o numerador e o denominador em função de |x+5|.
Primeiro o numerador:
\bigl|x^{2}-25\bigr|=\bigl|(x+5)(x-5)\bigr|=|x+5|\,|x-5|.
Escrevo |x-5|=|(x+5)-10|\le |x+5|+10. Assim
\bigl|x^{2}-25\bigr|\le |x+5|\bigl(|x+5|+10\bigr)=|x+5|^{2}+10|x+5|.
Agora o denominador. Como x^{2}+2\ge 2 para todo x, segue que
u=\sqrt[3]{x^{2}+2}\ge \sqrt[3]{2}>0.
Logo u^{2}\ge 0 e 3u\ge 0, portanto
u^{2}+3u+9 \ge 9.
Substituindo essas estimativas na expressão de |f(x)-3| temos
\bigl|f(x)-3\bigr| \le \frac{|x+5|^{2}+10|x+5|}{9}.

Passo 6

Para transformar a desigualdade acima numa forma linear em |x+5| escolho \delta\le 1. Se |x+5|<\delta\le 1 então |x+5|^{2}\le |x+5|, e assim
|x+5|^{2}+10|x+5|\le 11|x+5|.
Portanto, para |x+5|<\delta\le 1,
\bigl|f(x)-3\bigr|\le \frac{11}{9}\,|x+5|.
Agora dado um \varepsilon>0 quero garantir \bigl|f(x)-3\bigr|<\varepsilon. Pelo último desigualdade basta exigir
\frac{11}{9}\,|x+5|<\varepsilon,
ou seja
|x+5|<\frac{9}{11}\,\varepsilon.
Logo se eu tomar
\delta=\min\!\left(1,\;\frac{9}{11}\varepsilon\right),
então, sempre que |x+5|<\delta, teremos |f(x)-3|<\varepsilon.

Passo 7

Conclui-se pela definição ε–δ de continuidade que, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta dado em Passo 6) tal que |x+5|<\delta implica |f(x)-f(-5)|<\varepsilon. Portanto f é contínua em a=-5.

Resposta

f é contínua em a=-5.

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