Exercs. 23-24: Explique por que
não é contínua
.
23
;
23
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
:
-
. -
.
A pergunta é: explique por que
não é contínua em
. Vou listar exatamente o que precisamos verificar para decidir isso.
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (útil para a prova).
Uma função é contínua em um ponto
se e somente se as três condições seguintes forem verdadeiras:
Uma função
-
está definida (existe um valor finito de em ). -
existe (o limite existe e é finito). -
.
Se qualquer uma dessas três falhar, então
não é contínua em
. Vou checar cada uma para o nosso
e
.
Passo 3
Verificar a condição (1):
está definida?
Calcular . Substituindo
em
dá o denominador
. Portanto
Calcular
o que não é um número real — a expressão é indefinida. Logo, a condição (1) falha:
não está definida. Com isso já podemos concluir que
não é contínua em
. Mas vale completar mostrando o comportamento dos limites, para entender o tipo de descontinuidade.
Passo 4
Analisar o limite pela direita
.
Para se aproximando de
pela direita escrevemos
com
. Então
Para
e
Quando
,
. Assim
Passo 5
Analisar o limite pela esquerda
.
Para se aproximando de
pela esquerda escrevemos
com
. Então
Para
e
Quando
,
. Portanto
Passo 6
Interpretação dos limites laterais.
Os limites laterais são diferentes (um é e o outro é
), portanto o limite
não existe como número finito. Mesmo que alguém quisesse atribuir um valor a
, não haveria um limite finito que pudesse igualar esse valor. Assim a condição (2) (e consequentemente a (3)) também falham.
Os limites laterais são diferentes (um é
Passo 7
Tipo da descontinuidade e conclusão intuitiva.
O que ocorre em é uma descontinuidade em que a função “explode” para
de um lado e para
do outro — é uma assíntota vertical em
. Em linguagem de prova:
não é contínua em
porque
não está definida (denominador zero) e porque os limites laterais divergem em sinais opostos, logo o limite não existe.
O que ocorre em
Resposta
A função
não é contínua em
porque
não está definida (denominador zero) e os limites laterais divergem:
e
, então
não existe.