Exercs. 23-24: Explique por que f não é contínua \mathrm{em} a.
23 f(x)=\frac{3}{x+2};
a=-2

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto a:
  • f(x)=\dfrac{3}{x+2}.
  • a=-2.
A pergunta é: explique por que f não é contínua em a. Vou listar exatamente o que precisamos verificar para decidir isso.

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (útil para a prova).
Uma função f é contínua em um ponto a se e somente se as três condições seguintes forem verdadeiras:
  1. f(a) está definida (existe um valor finito de f em a).
  2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe (o limite existe e é finito).
  3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Se qualquer uma dessas três falhar, então f não é contínua em a. Vou checar cada uma para o nosso f e a.

Passo 3

Verificar a condição (1): f(a) está definida?
Calcular f(-2). Substituindo x=-2 em f(x)=\dfrac{3}{x+2} dá o denominador x+2=-2+2=0. Portanto
f(-2)=\frac{3}{-2+2}=\frac{3}{0},
o que não é um número real — a expressão é indefinida. Logo, a condição (1) falha: f(-2) não está definida. Com isso já podemos concluir que f não é contínua em -2. Mas vale completar mostrando o comportamento dos limites, para entender o tipo de descontinuidade.

Passo 4

Analisar o limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to -2^+} f(x).
Para x se aproximando de -2 pela direita escrevemos x=-2+h com h\to 0^+. Então
x+2 = h \quad\text{(positivo e muito pequeno)},
e
f(x)=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{h}.
Quando h\to 0^+, \dfrac{3}{h}\to +\infty. Assim
\lim_{x\to -2^+} f(x)=+\infty.

Passo 5

Analisar o limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to -2^-} f(x).
Para x se aproximando de -2 pela esquerda escrevemos x=-2-h com h\to 0^+. Então
x+2 = -h \quad\text{(negativo e muito pequeno)},
e
f(x)=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{-h}=-\frac{3}{h}.
Quando h\to 0^+, -\dfrac{3}{h}\to -\infty. Portanto
\lim_{x\to -2^-} f(x)=-\infty.

Passo 6

Interpretação dos limites laterais.
Os limites laterais são diferentes (um é +\infty e o outro é -\infty), portanto o limite \displaystyle \lim_{x\to -2} f(x) não existe como número finito. Mesmo que alguém quisesse atribuir um valor a f(-2), não haveria um limite finito que pudesse igualar esse valor. Assim a condição (2) (e consequentemente a (3)) também falham.

Passo 7

Tipo da descontinuidade e conclusão intuitiva.
O que ocorre em x=-2 é uma descontinuidade em que a função “explode” para +\infty de um lado e para -\infty do outro — é uma assíntota vertical em x=-2. Em linguagem de prova: f não é contínua em a=-2 porque f(-2) não está definida (denominador zero) e porque os limites laterais divergem em sinais opostos, logo o limite não existe.

Resposta

A função f não é contínua em -2 porque f(-2) não está definida (denominador zero) e os limites laterais divergem: \lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty e \lim_{x\to -2^-}f(x)=-\infty, então \lim_{x\to -2}f(x) não existe.

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