Nos Exercs. 12 a 15, calcule as integrais das funções dadas sobre os contornos C dados.
f(z)=1 / z e C vai de -i a +i, passando pelo semiplano Re z<0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integralC1z,dz
onde C é o arco que vai de -i a +i passando pelo semiplano Rez<0.
O conteúdo aqui é integral de contorno de uma função com singularidade em z=0, e vamos usar a parametrização de um semicírculo de raio 1 e o fato de que
ddzl(log zr)=1z
num ramo adequado de log z.

Passo 2

Parametrizamos C como o semicírculo de raio 1 centrado na origem, percorrendo o lado esquerdo. Assim, tome
z(theta)=e^,itheta, theta decresce de 3pi/2 até pi/2, é
pois em theta=3pi/2 temos z=-i e em theta=pi/2 temos z=+i. Então
dz=i,e^,itheta,dtheta
e
dzz =i,e^,itheta,dthetae^,itheta =i,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral dá
integralC1z,dz =integraltheta=3pi/2^pi/2i,dtheta =il(pi/2-3pi/2r) =il(-pir) =-,ipi

Resposta

integralC1z,dz = -,ipi

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