Resolva o problema de valor inicial abaixo:
$
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+2 x=0 ; x(\pi)=0 ; x^{\prime(\pi)}=-7
$
Descreva o comportamento da solução quando e quando .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
x''+2x'+2x=0
sujeita às condições iniciais
x(pi)=0, x'(pi)=-7
Para resolver, vamos usar o polinômio característico para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos o polinômio característico
r^2+2r+2=0
Suas raízes são
r = -2pmraiz4-82 = -1pm i
Logo, a solução geral é
x(t)=e^-tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 3

Aplicamos x(pi)=0:
x(pi)=e^-pil(Acospi + Bsinpir) =e^-pi(-A+0)=0 ;Longrightarrow;A=0

Passo 4

Agora calculamos x'(t). Usando a regra do produto,
x'(t) =ddtl[e^-t(Acos t + Bsin t)r] =e^-tl[-(Acos t+Bsin t)+(-Asin t+Bcos t)r]
Como A=0, isso simplifica em
x'(t)=e^-tl(Bcos t - Bsin tr) =e^-tB(cos t - sin t)
Em t=pi temos
x'(pi) =e^-piBl(cospi-sinpir) =e^-piB(-1-0) =-B,e^-pi =-7 ;Longrightarrow; B,e^-pi=7 ;Longrightarrow; B=7e^pi

Passo 5

Substituindo A=0 e B=7e^pi na solução geral, obtemos
x(t)=e^-tl(0cdotcos t + 7e^pisin tr) =7e^pi-t,sin t

Passo 6

Comportamento quando tto+infty:
A amplitude é 7e^pi-t, que tende a zero. Logo
limtto+inftyx(t)=0,
isto é, temos oscilações amortecidas que se aproximam de zero.

Passo 7

Comportamento quando tto-infty:
A amplitude 7e^pi-t=7e^pie^-t cresce sem limite. Assim
limsuptto-infty|x(t)|=+infty,
isto é, a solução oscila com amplitude exponencialmente crescente.

Resposta

x(t)=7e^pi-tsin t
Para tto+infty, x(t)to0 (oscilações amortecidas).
Para tto-infty, x(t) oscila com amplitude que cresce sem limite.

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