Resolva o problema de valor inicial abaixo:
$
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+2 x=0 ; x(\pi)=0 ; x^{\prime(\pi)}=-7
$
Descreva o comportamento da solução quando
e quando
.
$
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+2 x=0 ; x(\pi)=0 ; x^{\prime(\pi)}=-7
$
Descreva o comportamento da solução quando
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
Para resolver, vamos usar o polinômio característico para obter a solução geral e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Formamos o polinômio característico
Suas raízes são
Logo, a solução geral é
Passo 3
Aplicamos
:
Passo 4
Agora calculamos
. Usando a regra do produto,
Como
, isso simplifica em
Em
temos
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Passo 6
Comportamento quando
:
A amplitude é , que tende a zero. Logo
A amplitude é
isto é, temos oscilações amortecidas que se aproximam de zero.
Passo 7
Comportamento quando
:
A amplitude cresce sem limite. Assim
A amplitude
isto é, a solução oscila com amplitude exponencialmente crescente.
Resposta
Para
,
(oscilações amortecidas).
Para ,
oscila com amplitude que cresce sem limite.
Para