Questão 3- (Valor: 2+3+2=7 pontos)
Dado o problema da onda
P OA:c ut t=c^2 ux x, 0<x<L e t>0 u(0, t)=0=u(L, t), t >= 0 u(x, 0)=f(x), 0 <= x <= L ut(x, 0)=0,0 <= x <= L
Onde c>0, é a velocidade de propagação da onda e Lo seu comprimento, faça o que se pede.
a)Desenvolva o Método de Separação de Variáveis de Fourier ( u(x, t)=F(x) G(t) ), determine o problema de Sturm-Liouville associado ao problema bem como seus autovalores (admitir autovalores positivos);
b)Determine a solução genérica em série de Fourier do problema P OA explicitando a expansão da condição inicial f(x) em Série de Fourier
c)Usando a solução em Série de Fourier do item (b), mostre como obter a Fórmula de D’Alambert para este problema:
Observação: sen(A) cos (B)=12[sen(A+B)+sen(A-B)].

Passo 1

O enunciado trata do problema da onda
POA: utt=c^2nuxx,&0<x<L,;t>0, u(0,t)=0=nu(L,t),&t>=0, u(x,0)=f(x),&0<= x<= L, ut(x,0)=0,&0<= x<= L,
onde c>0 e L são dados. Vamos usar o método de separação de variáveis ( u(x,t)=F(x),G(t)) para:
a) Formular o problema de Sturm-Liouville em x e achar seus autovalores positivos.
b) Escrever a solução genérica em série e determinar a expansão de f(x).
c) A partir da série, mostrar como surge a fórmula de D’Alembert.

Passo 2

Substituindo u(x,t)=F(x),G(t) em utt=c^2uxx e dividindo por c^2FG obtemos
G''(t)c^2G(t)=F''(x)F(x)=-lambda
Isso gera o problema de Sturm-Liouville em x:
F''+lambda F=0, F(0)=0,;F(L)=0
Para autovalores positivos lambdan>0 as soluções não-triviais são
lambdan=l(npiLr)^2, Fn(x)=sin!l(tfracnpi xLr),;n=1,2,dots
e a equação em t fica
Gn''+l(c^2lambdanr),Gn=0 ;Longrightarrow; Gn''+l(tfracnpi cLr)^2Gn=0

Passo 3

A solução geral da PDE é combinação linear de todos os modos:
u(x,t) =sumn=1^inftyl[Ancos!l(tfracnpi cLtr) +Bnsin!l(tfracnpi cLtr)r] sin!l(tfracnpi xLr)
Impondo u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=0
f(x)=sumn=1^inftyAnsin!l(tfracnpi xLr), 0=sumn=1^inftyBn,tfracnpi cL, sin!l(tfracnpi xLr)
Como sin(npi x/L) é base ortogonal em [0,L], concluímos
Bn=0, An=2Lintegral0^Lf(s),sin!l(tfracnpi sLr),ds
Logo a solução fica
u(x,t) =sumn=1^infty l[tfrac2L!integral0^Lf(s)sin!l(tfracnpi sLr)dsr] cos!l(tfracnpi cLtr) sin!l(tfracnpi xLr)

Passo 4

Usando a identidade
sin(A)cos(B) =tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r]
em cada termo sin(tfracnpi xL)cos(tfracnpi cLt), obtemos
u(x,t) =sumn=1^infty An,tfrac12l[ sin!l(tfracnpi(x+ct)Lr) +sin!l(tfracnpi(x-ct)Lr) r]
Agrupando as somas, cada série sum Ansin[npi y/L] é exatamente a extensão ímpar periódica de f(y) de período 2L. Assim chega-se à forma de D’Alembert adaptada a extremidades fixas:
u(x,t) =tfrac12l[F(x+ct)+F(x-ct)r],
onde F é a extensão ímpar periódica de f. Isso mostra como a série de Fourier do item (b) resulta na fórmula de D’Alembert.

Resposta

a) Sturm-Liouville:
F''+lambda F=0,;F(0)=F(L)=0 ;Longrightarrow; lambdan=(tfracnpiL)^2,; Fn(x)=sin(tfracnpi xL);
em t: Gn''+(tfracnpi cL)^2Gn=0.
b)
u(x,t) =sumn=1^infty l[tfrac2L!integral0^Lf(s)sin(tfracnpi sL)dsr] cos(tfracnpi cLt), sin(tfracnpi xL)
c)
u(x,t)=tfrac12l[F(x+ct)+F(x-ct)r],
fórmula de D’Alembert com F extensão ímpar periódica de f.

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