Onde c>0, é a velocidade de propagação da onda e Lo seu comprimento, faça o que se pede.
a)Desenvolva o Método de Separação de Variáveis de Fourier ( u(x, t)=F(x) G(t) ), determine o problema de Sturm-Liouville associado ao problema bem como seus autovalores (admitir autovalores positivos);
b)Determine a solução genérica em série de Fourier do problema P OA explicitando a expansão da condição inicial f(x) em Série de Fourier
c)Usando a solução em Série de Fourier do item (b), mostre como obter a Fórmula de D’Alambert para este problema:
Observação: sen(A) cos (B)=12[sen(A+B)+sen(A-B)].
onde c>0 e L são dados. Vamos usar o método de separação de variáveis (u(x,t)=F(x),G(t)) para:
a) Formular o problema de Sturm-Liouville em x e achar seus autovalores positivos.
b) Escrever a solução genérica em série e determinar a expansão de f(x).
c) A partir da série, mostrar como surge a fórmula de D’Alembert.
Passo 2
Substituindo u(x,t)=F(x),G(t) em utt=c^2uxx e dividindo por c^2FG obtemos
G''(t)c^2G(t)=F''(x)F(x)=-lambda
Isso gera o problema de Sturm-Liouville em x:
F''+lambda F=0, F(0)=0,;F(L)=0
Para autovalores positivos lambdan>0 as soluções não-triviais são
Agrupando as somas, cada série sum Ansin[npi y/L] é exatamente a extensão ímpar periódica de f(y) de período 2L. Assim chega-se à forma de D’Alembert adaptada a extremidades fixas:
u(x,t) =tfrac12l[F(x+ct)+F(x-ct)r],
onde F é a extensão ímpar periódica de f. Isso mostra como a série de Fourier do item (b) resulta na fórmula de D’Alembert.