Nos Exercs. 1 a 12, determine o argumento dos números complexos dados, escreva esses números na forma polar e represente-os geometricamente.
z=(i1+i)^5.

Passo 1

O enunciado pede o argumento de
z = l(i1+ir)^5,
além de escrever z na forma polar e indicar sua representação geométrica. Aqui vamos usar:
– racionalização de denominador para simplificar a parte algébrica,
– conversão de um número complexo a+bi na forma polar r(costheta + isintheta),
– propriedade de potências em forma polar, que diz que
l(r e^ithetar)^n = r^n e^i ntheta

Passo 2

Simplificamos a fração i1+i multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1+i, que é 1-i:
i1+i = i,(1 - i)(1+i)(1 - i) = i - i^21 - i^2 = i + 11 + 1 = 1 + i2
Logo,
i1+i = 12 + i2

Passo 3

Agora vamos à forma polar de 12 + i2.
– O módulo é
r = raizl(tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 = raiztfrac14 + tfrac14 = raiztfrac12 = 1raiz2
– O argumento theta satisfaz costheta = tfrac12/r e sintheta = tfrac12/r, o que dá theta = tfracpi4.
Portanto
i1+i = 1raiz2l(costfracpi4 + isintfracpi4r) = 1raiz2,e^ipi/4

Passo 4

Aplicamos a propriedade de potência na forma polar para elevar à quinta potência:
z = l(tfrac1raiz2,e^ipi/4r)^5 = l(tfrac1raiz2r)^5 , e^i,5pi/4 = 1( raiz2 )^5,e^i5pi/4 = 12^5/2,e^i5pi/4

Passo 5

Dessa forma, o argumento de z é
arg(z) = 5pi/4
(equivalente a pi + pi/4, no terceiro quadrante) e a forma polar fica
z = 12^5/2l(costfrac5pi4 + isintfrac5pi4r)

Passo 6

Na representação geométrica, z é um vetor de comprimento r = 1/2^5/2 que faz um ângulo de 5pi/4 com o eixo real positivo, apontando para o terceiro quadrante do plano complexo.

Resposta

arg (z)=5pi/4
Forma polar:
z = 12^5/2l(costfrac5pi4 + isintfrac5pi4r)
Geométricamente, é o ponto no terceiro quadrante a distância 1/2^5/2 da origem, formando ângulo 5pi/4.

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