Questão 10. Dada a série de potências sumn >= 0 cn(x-a)^n, cujo raio de convergência é R, considere as seguintes afirmaçōes.
(I) Se a série converge apenas em x=a, então R=0. No entanto, se a série converge para todo R, então R=infty.
(II) A série sempre converge, se x=a e, por este motivo, não é necessário testar nos pontos x neq a.
(III) A série sumn=0^infty n!x^n é convergente para todo x neq 0.

Nestas condições, é correto afirmar que:

(a) apenas (I) é verdadeira
(b) apenas (II) é verdadeira
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(d) apenas (I) é falsa
(e) apenas (II) é falsa
(f) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

O enunciado nos dá uma série de potências
sumn>=0cn(x-a)^n
com raio de convergência R, e pede para avaliar as afirmações (I), (II) e (III) sobre onde a série converge.

Passo 2

Analisando (I): pela definição de raio de convergência, temos
R = 1limsupntoinftyraiz[n]|cn|
Se a série só converge em x=a, isso significa que qualquer xneq a está fora do intervalo de convergência, logo R=0. Por outro lado, se converge para todo xinR, então R deve ser infinito. Assim, (I) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (II): é verdade que toda série de potências converge trivialmente em x=a, mas para saber se ela converge em algum xneq a é exatamente disso que precisamos testar — ou seja, não podemos dispensar o teste em xneq a. Logo, (II) é falsa.

Passo 4

Analisando (III): considere sumn=0^infty n!,x^n. Usando o teste da raiz,
limsupntoinftyraiz[n]n! =infty,
então o raio de convergência é
R = 1infty=0
Isso significa que só converge em x=0 e diverge para todo xneq0. Portanto, (III) é falsa.

Resposta

(a) apenas (I) é verdadeira

Exercícios relacionados