Questão 10. Dada a série de potências
, cujo raio de convergência é
, considere as seguintes afirmaçōes.
(I) Se a série converge apenas em
, então
. No entanto, se a série converge para todo
, então
.
(II) A série sempre converge, se
, por este motivo, não é necessário testar nos pontos
.
(III) A série
é convergente para todo
.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(b) apenas (II) é verdadeira
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(d) apenas (I) é falsa
(e) apenas (II) é falsa
(f) nenhuma das alternativas anteriores
(I) Se a série converge apenas em
(II) A série sempre converge, se
(III) A série
(b) apenas (II) é verdadeira
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(d) apenas (I) é falsa
(e) apenas (II) é falsa
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
O enunciado nos dá uma série de potências
com raio de convergência , e pede para avaliar as afirmações (I), (II) e (III) sobre onde a série converge.
com raio de convergência
Passo 2
Analisando (I): pela definição de raio de convergência, temos
Se a série só converge em
, isso significa que qualquer
está fora do intervalo de convergência, logo
. Por outro lado, se converge para todo
, então
deve ser infinito. Assim, (I) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (II): é verdade que toda série de potências converge trivialmente em
, mas para saber se ela converge em algum
é exatamente disso que precisamos testar — ou seja, não podemos dispensar o teste em
. Logo, (II) é falsa.
Passo 4
Analisando (III): considere
. Usando o teste da raiz,
então o raio de convergência é
Isso significa que só converge em
e diverge para todo
. Portanto, (III) é falsa.
Resposta
(a) apenas (I) é verdadeira