Questão 11. Dadas as séries A=sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1, B=sumn=0^infty x^2 n(2 n)! e C=sumn=0^infty x^n, sendo RA, RB e RC os raios de convergência das séries A, B e ^n=0, respectivamente; e IA, IB e IC ^n=S intervalos de convergência das séries A, B e C, respectivamente, complete, cada sentença abaixo, com as informações solicitadas:
RA= e a série A é (convergente ou divergente) em x=2.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência RA da série de potências
A=sumn=0^inftyn,(x+2)^n3^n+1
e também se a série converge ou diverge em x=2. Para isso vamos usar o teste da razão, que é o método clássico para achar raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
an=n,(x+2)^n3^n+1
Aplicando o teste da razão, calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(n+1)(x+2)^n+1/3^n+2n,(x+2)^n/3^n+1| =limntoinftyl(1+1nr)|x+2|3 =|x+2|3

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja
|x+2|3<1 Long<=ftrightarrow |x+2|<3
Logo o raio de convergência é
RA=3

Passo 4

Para x=2 temos |x+2|=|4|=4, e assim
L=43>1,
o que implica que a série diverge em x=2.

Resposta

RA=3 e a série A é divergente em x=2.

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