Exercs. 15-26: Represente f(x) por uma série de potências, usando os resultados desta seção.
f(x)=senh(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos a função $ f(x) = \sinh(x^2) $ usando uma série de potências. Vamos usar conhecimento de séries de potências e a definição da função hiperbólica seno ( f(x) = sinh(x^2) ). Para resolver isso, precisamos entender como expandir funções em séries e aplicar isso à nossa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências para a função sinh(z). A série de potências de sinh(z) é dada por:
sinh(z) = sumn=0^infty z^2n+1(2n+1)!
Isso significa que a função sinh(z) pode ser escrita como uma soma infinita onde cada termo é $ \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} $.

Passo 3

Agora, na nossa função $ f(x) = \sinh(x^2) $, o que está dentro do f(x) = sinh(x^2) é $ x^2 $. Então, vamos substituir $ z $ por $ x^2 $ na série que escrevemos acima:
sinh

Passo 4

Vamos simplificar a expressão $ (x2){2n+1} $. Quando levantamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes:
(x^2)^2n+1
Então, agora nossa série fica:
(x^2)^2n+1 = x^2 times (2n+1) = x^4n+2

Passo 5

Portanto, a representação da função $ f(x) = \sinh(x^2) $ como uma série de potências é:
f(x) = sinh(x^2)

Resposta

A representação por série de potências de $ f(x) = \sinh(x^2) $ é:
f(x) = sinh(x^2)

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