Exercs. 15-26: Represente
por uma série de potências, usando os resultados desta seção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos a função $ f(x) = \sinh(x^2) $ usando uma série de potências. Vamos usar conhecimento de séries de potências e a definição da função hiperbólica seno (
). Para resolver isso, precisamos entender como expandir funções em séries e aplicar isso à nossa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências para a função
. A série de potências de
é dada por:
Isso significa que a função
pode ser escrita como uma soma infinita onde cada termo é $ \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} $.
Passo 3
Agora, na nossa função $ f(x) = \sinh(x^2) $, o que está dentro do
é $ x^2 $. Então, vamos substituir $ z $ por $ x^2 $ na série que escrevemos acima:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão $ (x2){2n+1} $. Quando levantamos uma potência a outra potência, multiplicamos os expoentes:
Então, agora nossa série fica:
Passo 5
Portanto, a representação da função $ f(x) = \sinh(x^2) $ como uma série de potências é:
Resposta
A representação por série de potências de $ f(x) = \sinh(x^2) $ é: