Exercs. 23-24: Explique por que f não é contínua \mathrm{em} a.
24 f(x)=\frac{1}{x-1} ;\quad a=1

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto a a seguir:
f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad a=1.
A pergunta é: explicar por que f não é contínua em a.
Vou listar claramente o que foi dado e o que precisam ser verificados:
  • Dado: a fórmula de f(x) para x\neq 1.
  • Dado: o ponto a=1.
  • Pedido: justificar por que f não é contínua em x=1.

Passo 2

Recordando a definição de continuidade num ponto (passo-a-passo didático):
  • Uma função f é contínua em um ponto a se, e somente se, as três condições seguintes são satisfeitas:
    1. f está definida em a (isto é, f(a) existe).
    2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe (como número finito).
    3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Vou explicar as partes: em (1) " f(a) existe" significa que substituindo x=a na expressão da função obtém-se um valor bem definido; em (2) o limite deve existir como um número real único (não pode ser \pm\infty nem diferentes valores laterais); em (3) é a igualdade entre o valor da função no ponto e o valor do limite.
Se qualquer uma dessas três falhar, a função não é contínua em a.

Passo 3

Verificar a condição (1): f está definida em a=1?
  • A expressão dada é f(x)=\dfrac{1}{x-1}.
  • Substituindo x=1 no denominador dá 1-1=0, e dividir por zero não é permitido; portanto f(1) não está definida.
    Conclusão parcial: a condição (1) falha — já basta para afirmar que f não é contínua em 1. Mas vou continuar e mostrar também o comportamento do limite para reforçar a razão (é útil para a prova).

Passo 4

Estudar \displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{1}{x-1}. Para entender melhor, calculemos os limites laterais:
  • Quando x\to 1^{+} (aproximação pela direita), temos x-1>0 pequeno, logo \frac{1}{x-1}\to +\infty.Intuição: denominador positivo muito pequeno faz o quociente crescer sem limite.
  • Quando x\to 1^{-} (aproximação pela esquerda), temos x-1<0 pequeno (número negativo com módulo pequeno), logo \frac{1}{x-1}\to -\infty.Intuição: denominador negativo muito pequeno faz o quociente decrescer sem limite (vai para -\infty).
Como os limites laterais são diferentes ( +\infty e -\infty), o limite \displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{1}{x-1} não existe como número finito.

Passo 5

Dar uma versão rigorosa do fato “diverge para infinito” usando uma estimação \varepsilon-estilo (mas com M para limites infinitos), para consolidar:
  • Queremos mostrar: para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então |f(x)|=\dfrac{1}{|x-1|}>M.
  • Tomando \delta=\dfrac{1}{M}, se 0<|x-1|<\delta então |x-1|<\dfrac{1}{M} e assim |f(x)|=\frac{1}{|x-1|}>\frac{1}{1/M}=M.
  • Isso mostra que |f(x)| fica arbitrariamente grande quando x se aproxima de 1, ou seja, \dfrac{1}{x-1} diverge em módulo quando x\to 1. Portanto o limite não existe como número finito.

Passo 6

Juntando as observações:
  • Condição necessária para continuidade (existência de f(1)) falha porque f(1) não está definida.
  • Além disso, o limite de f(x) quando x\to 1 não existe (as duas laterais divergem com sinais opostos), logo a condição (2) também falha.
  • Pela definição de continuidade (Passo 2), como pelo menos uma das condições não se cumpre, f não é contínua em a=1.

Resposta

f não é contínua em a=1, porque f(1) não está definida e \displaystyle \lim_{x\to1}\dfrac{1}{x-1} não existe (as limites laterais divergem: \lim_{x\to1^+}1/(x-1)=+\infty e \lim_{x\to1^-}1/(x-1)=-\infty).

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