Exercs. 23-24: Explique por que
não é contínua
.
24
24
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
a seguir:
A pergunta é: explicar por que
não é contínua em
.
Vou listar claramente o que foi dado e o que precisam ser verificados:
- Dado: a fórmula de
para . - Dado: o ponto
. - Pedido: justificar por que
não é contínua em .
Passo 2
Recordando a definição de continuidade num ponto (passo-a-passo didático):
- Uma função
é contínua em um ponto se, e somente se, as três condições seguintes são satisfeitas: -
está definida em (isto é, existe). -
existe (como número finito). -
.
-
Vou explicar as partes: em (1) "
existe" significa que substituindo
na expressão da função obtém-se um valor bem definido; em (2) o limite deve existir como um número real único (não pode ser
nem diferentes valores laterais); em (3) é a igualdade entre o valor da função no ponto e o valor do limite.
Se qualquer uma dessas três falhar, a função não é contínua em
.
Passo 3
Verificar a condição (1):
está definida em
?
- A expressão dada é
. - Substituindo
no denominador dá , e dividir por zero não é permitido; portanto não está definida.
Conclusão parcial: a condição (1) falha — já basta para afirmar quenão é contínua em . Mas vou continuar e mostrar também o comportamento do limite para reforçar a razão (é útil para a prova).
Passo 4
Estudar
. Para entender melhor, calculemos os limites laterais:
- Quando
(aproximação pela direita), temos pequeno, logo Intuição: denominador positivo muito pequeno faz o quociente crescer sem limite. - Quando
(aproximação pela esquerda), temos pequeno (número negativo com módulo pequeno), logo Intuição: denominador negativo muito pequeno faz o quociente decrescer sem limite (vai para ).
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite
não existe como número finito.
Passo 5
Dar uma versão rigorosa do fato “diverge para infinito” usando uma estimação
-estilo (mas com
para limites infinitos), para consolidar:
- Queremos mostrar: para qualquer
existe tal que, se , então . - Tomando
, se então e assim - Isso mostra que
fica arbitrariamente grande quando se aproxima de , ou seja, diverge em módulo quando . Portanto o limite não existe como número finito.
Passo 6
Juntando as observações:
- Condição necessária para continuidade (existência de
) falha porque não está definida. - Além disso, o limite de
quando não existe (as duas laterais divergem com sinais opostos), logo a condição (2) também falha. - Pela definição de continuidade (Passo 2), como pelo menos uma das condições não se cumpre,
não é contínua em .