Exercs. 31-34: Determine todos os múmeros para os quais
é descontínua.
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Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede: determinar todos os números para os quais
é descontínua. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão da função é aquela fracionária acima.
- Não há outras hipóteses (por exemplo, valores atribuídos por partes) — só essa fórmula.
Passo 2
Relembrando o que significa “descontinuidade” de forma direta e prática (passo-a-passo para a prova):
- Uma função
é contínua em um ponto se dois requisitos ocorrem: (i) está definido (ou seja, pertence ao domínio de ); (ii) existe e é igual a . - Portanto, se a função não estiver definida em
(por exemplo, denominador zero numa fração), não pode ser contínua em . - Para funções racionais (uma polinômio dividido por outro), os únicos possíveis pontos de descontinuidade são os pontos onde o denominador é zero (porque aí a função deixa de estar definida). Mais adiante classificamos que tipo de descontinuidade ocorre nesses pontos.
Passo 3
Vamos achar onde o denominador se anula, porque esses são os candidatos a descontinuidade:
Fatoramos o polinômio (procure duas raízes cuja soma seja
e produto
). Testando, obtemos
Verificando:
. As raízes são, então,
Passo 4
Concluímos o domínio de
: todos os números reais exceto os zeros do denominador. Ou seja,
Como
não está definida em
e em
, pelos argumentos do Passo 2 a função não pode ser contínua nesses pontos. Logo ambos são pontos de descontinuidade.
Passo 5
Classificação do tipo de descontinuidade (útil para a prova): como o numerador é o número constante
, temos
nos pontos
e
. Quando o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo, o valor da função tende a
(comportamento de assíntota vertical). Podemos ver o sinal das duas laterais rapidamente:
- Perto de
: fator muda de sinal ao atravessar , enquanto permanece positivo; portanto e . É uma descontinuidade do tipo infinito (assíntota vertical). - Perto de
: muda de sinal ao atravessar , enquanto é negativo (aproximadamente ) em ambos os lados; portanto e . Também é descontinuidade do tipo infinito.
Passo 6
Resumo final e incentivo: os únicos pontos onde
é descontínua são exatamente as raízes do denominador, isto é,
e
. Isso é típico: para funções racionais, busque sempre os zeros do denominador — se o numerador também for zero no mesmo ponto, aí pode ocorrer remoção; se não for zero, a descontinuidade é infinita (assíntota vertical). Vai dar tudo certo na prova — foque em sempre checar domínio primeiro!