Exercs. 31-34: Determine todos os múmeros para os quais f é descontínua.
32 f(x)=\frac{5}{x^{2}-4 x-12}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{5}{x^{2}-4x-12}
e pede: determinar todos os números para os quais f é descontínua. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é aquela fracionária acima.
  • Não há outras hipóteses (por exemplo, valores atribuídos por partes) — só essa fórmula.

Passo 2

Relembrando o que significa “descontinuidade” de forma direta e prática (passo-a-passo para a prova):
  • Uma função f é contínua em um ponto a se dois requisitos ocorrem: (i) f(a) está definido (ou seja, a pertence ao domínio de f); (ii) \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a f(a).
  • Portanto, se a função não estiver definida em a (por exemplo, denominador zero numa fração), não pode ser contínua em a.
  • Para funções racionais (uma polinômio dividido por outro), os únicos possíveis pontos de descontinuidade são os pontos onde o denominador é zero (porque aí a função deixa de estar definida). Mais adiante classificamos que tipo de descontinuidade ocorre nesses pontos.

Passo 3

Vamos achar onde o denominador se anula, porque esses são os candidatos a descontinuidade:
x^{2}-4x-12=0.
Fatoramos o polinômio (procure duas raízes cuja soma seja 4 e produto -12). Testando, obtemos
x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2).
Verificando: (x-6)(x+2)=x^{2}+2x-6x-12=x^{2}-4x-12. As raízes são, então,
x-6=0\Rightarrow x=6,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2.

Passo 4

Concluímos o domínio de f: todos os números reais exceto os zeros do denominador. Ou seja,
\text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2,6\}.
Como f não está definida em x=-2 e em x=6, pelos argumentos do Passo 2 a função não pode ser contínua nesses pontos. Logo ambos são pontos de descontinuidade.

Passo 5

Classificação do tipo de descontinuidade (útil para a prova): como o numerador é o número constante 5, temos 5\neq 0 nos pontos x=-2 e x=6. Quando o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo, o valor da função tende a \pm\infty (comportamento de assíntota vertical). Podemos ver o sinal das duas laterais rapidamente:
  • Perto de x=6: fator (x-6) muda de sinal ao atravessar 6, enquanto (x+2) permanece positivo; portanto \lim_{x\to6^-}f(x)=-\infty e \lim_{x\to6^+}f(x)=+\infty. É uma descontinuidade do tipo infinito (assíntota vertical).
  • Perto de x=-2: (x+2) muda de sinal ao atravessar -2, enquanto (x-6) é negativo (aproximadamente -8) em ambos os lados; portanto \lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty e \lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty. Também é descontinuidade do tipo infinito.

Passo 6

Resumo final e incentivo: os únicos pontos onde f é descontínua são exatamente as raízes do denominador, isto é, x=-2 e x=6. Isso é típico: para funções racionais, busque sempre os zeros do denominador — se o numerador também for zero no mesmo ponto, aí pode ocorrer remoção; se não for zero, a descontinuidade é infinita (assíntota vertical). Vai dar tudo certo na prova — foque em sempre checar domínio primeiro!

Resposta

-2,\\\ 6

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