Exercs. 31-34: Determine todos os múmeros para os quais
é descontínua.
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.
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Passo 1
O enunciado dá a função racional
definida por
A pergunta é: determinar todos os números para os quais
é descontínua.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão algébrica de
é . - Para funções racionais, possíveis pontos de descontinuidade ocorrem quando o denominador é zero (pois aí a função pode não estar definida).
Passo 2
Vamos encontrar os valores de
que anulam o denominador
. Para isso, fatoramos o polinômio:
Procuramos dois números que multiplicam para e somam para
. Esses números são
e
. Assim,
Procuramos dois números que multiplicam para
Logo os zeros do denominador são as raízes da equação
, isto é,
Passo 3
A função original não pode estar definida onde o denominador é zero. Portanto o domínio de
é
Isto significa que
não está definida em
e em
. Esses são candidatos à descontinuidade; agora precisamos verificar o tipo de descontinuidade em cada ponto (se é removível, se é do tipo infinito, etc.).
Passo 4
Observe que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Para
podemos simplificar a expressão:
Essa igualdade vale para todos os
diferentes de
. É útil porque permite calcular limites próximos de pontos distintos de
usando a forma simplificada
.
Passo 5
Relembrando a definição prática de continuidade num ponto
:
é contínua em
se (i)
está definida, (ii) o limite
existe, e (iii)
. Se alguma dessas condições falha,
é descontínua em
.
Passo 6
Analisando
:
- O denominador zera em
, portanto não está definida (condição (i) falha). - Para o limite, como para
temos , o limite quando é o limite da função simplificada:
O limite existe e é finito, mas
não existe. Portanto
tem uma descontinuidade removível em
(um “buraco” no gráfico): a função poderia ser estendida definindo
para ficar contínua ali.
Passo 7
Analisando
:
- O denominador zera em
, logo não está definida. - Para estudar o limite, novamente para
temos , então avaliamos os limites laterais usando essa forma:
pois
tende a
e
tende a
.
pois
tende a
e
tende a
.
Como as duas limites laterais divergem para sinais opostos, o limite não existe (diverge para infinito). Portanto
é uma descontinuidade do tipo infinito (ou essencial/vertical).
Como as duas limites laterais divergem para sinais opostos, o limite
Passo 8
Conclusão sobre todas as descontinuidades:
- Em
: descontinuidade removível (limite finito , função não definida). - Em
: descontinuidade do tipo infinito (limites laterais divergem com sinais opostos).