Exercs. 31-34: Determine todos os múmeros para os quais f é descontínua.
34 f(x)=\frac{x-4}{x^{2}-x-12}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional f definida por
f(x)=\frac{x-4}{x^{2}-x-12}.
A pergunta é: determinar todos os números para os quais f é descontínua.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão algébrica de f(x) é \dfrac{x-4}{x^{2}-x-12}.
  • Para funções racionais, possíveis pontos de descontinuidade ocorrem quando o denominador é zero (pois aí a função pode não estar definida).

Passo 2

Vamos encontrar os valores de x que anulam o denominador \,x^{2}-x-12. Para isso, fatoramos o polinômio:
Procuramos dois números que multiplicam para -12 e somam para -1. Esses números são -4 e 3. Assim,
x^{2}-x-12=(x-4)(x+3).
Logo os zeros do denominador são as raízes da equação (x-4)(x+3)=0, isto é,
x=4 \quad\text{e}\quad x=-3.

Passo 3

A função original não pode estar definida onde o denominador é zero. Portanto o domínio de f é
\mathbb{R}\setminus\{4,-3\}.
Isto significa que f não está definida em x=4 e em x=-3. Esses são candidatos à descontinuidade; agora precisamos verificar o tipo de descontinuidade em cada ponto (se é removível, se é do tipo infinito, etc.).

Passo 4

Observe que o fator (x-4) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Para x\neq4 podemos simplificar a expressão:
\frac{x-4}{x^{2}-x-12}=\frac{x-4}{(x-4)(x+3)}=\frac{1}{x+3}\qquad (x\neq4).
Essa igualdade vale para todos os x diferentes de 4. É útil porque permite calcular limites próximos de pontos distintos de 4 usando a forma simplificada \dfrac{1}{x+3}.

Passo 5

Relembrando a definição prática de continuidade num ponto a: f é contínua em a se (i) f(a) está definida, (ii) o limite \lim_{x\to a} f(x) existe, e (iii) \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Se alguma dessas condições falha, f é descontínua em a.

Passo 6

Analisando x=4:
  • O denominador zera em x=4, portanto f(4) não está definida (condição (i) falha).
  • Para o limite, como para x\neq4 temos f(x)=\dfrac{1}{x+3}, o limite quando x\to4 é o limite da função simplificada:
\lim_{x\to4} f(x)=\lim_{x\to4}\frac{1}{x+3}=\frac{1}{4+3}=\frac{1}{7}.
O limite existe e é finito, mas f(4) não existe. Portanto f tem uma descontinuidade removível em x=4 (um “buraco” no gráfico): a função poderia ser estendida definindo f(4)=\tfrac{1}{7} para ficar contínua ali.

Passo 7

Analisando x=-3:
  • O denominador zera em x=-3, logo f(-3) não está definida.
  • Para estudar o limite, novamente para x\neq4 temos f(x)=\dfrac{1}{x+3}, então avaliamos os limites laterais usando essa forma:
\lim_{x\to-3^{+}} f(x)=\lim_{x\to-3^{+}}\frac{1}{x+3}=+\infty,
pois x+3 tende a 0^{+} e 1/(x+3) tende a +\infty.
\lim_{x\to-3^{-}} f(x)=\lim_{x\to-3^{-}}\frac{1}{x+3}=-\infty,
pois x+3 tende a 0^{-} e 1/(x+3) tende a -\infty.
Como as duas limites laterais divergem para sinais opostos, o limite \lim_{x\to-3} f(x) não existe (diverge para infinito). Portanto x=-3 é uma descontinuidade do tipo infinito (ou essencial/vertical).

Passo 8

Conclusão sobre todas as descontinuidades:
  • Em x=4: descontinuidade removível (limite finito \tfrac{1}{7}, função não definida).
  • Em x=-3: descontinuidade do tipo infinito (limites laterais divergem com sinais opostos).

Resposta

x=-3
x=4

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