Exercs. 25-30: Ache cada limite, se existe:
26 $f(x)=\frac{x+5}{|x+5|} ;
a=-5

Passo 1

O enunciado pede o limite da função f quando x tende a -5. Os dados que temos:
  • A função é f(x)=\dfrac{x+5}{|x+5|}.
  • O ponto em que o limite deve ser calculado é a=-5.
O que se quer: calcular \lim_{x\to -5} f(x). Como a expressão envolve valor absoluto, é natural investigar os limites laterais \lim_{x\to -5^-} f(x) e \lim_{x\to -5^+} f(x).

Passo 2

Entender o valor absoluto e como ele se comporta perto de [-5).
Regra do valor absoluto: para qualquer real u,
|u|= \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui podemos tomar u=x+5\]. Assim, o comportamento de \(|x+5| depende do sinal de x+5:
  • Se x>-5, então x+5>0 e |x+5|=x+5.
  • Se x<-5, então x+5<0 e |x+5|=-(x+5).
    Observe também que em x=-5 temos x+5=0, então o denominador |x+5| fica zero e f(-5) não está definida.]

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to -5^+} f(x).
Para x>-5 (valores próximos a -5 pela direita) vale |x+5|=x+5. Substituindo em f:
f(x)=\frac{x+5}{|x+5|}=\frac{x+5}{x+5}=1,\qquad \text{para }x>-5\text{ (e }x\neq-5\text{)}.
Portanto, à direita de -5 a função é constantemente 1. Logo o limite lateral direito é
\lim_{x\to -5^+} f(x)=1,
porque o limite de uma função constante é essa constante.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to -5^-} f(x).
Para x<-5 (valores próximos a -5 pela esquerda) vale |x+5|=-(x+5). Substituindo em f:
f(x)=\frac{x+5}{|x+5|}=\frac{x+5}{-(x+5)}=-1,\qquad \text{para }x<-5.
Assim, à esquerda de -5 a função é constantemente -1. Logo o limite lateral esquerdo é
\lim_{x\to -5^-} f(x)=-1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral.
Encontramos
\lim_{x\to -5^-} f(x)=-1\quad\text{e}\quad\lim_{x\to -5^+} f(x)=1.
Como os limites laterais são diferentes, o limite bilateral \lim_{x\to -5} f(x) não existe. Intuição rápida: a função é a versão da “função sinal” em torno de -5, saltando de -1 para 1 em -5.

Resposta

\lim_{x\to -5^-} f(x) = -1,\quad \lim_{x\to -5^+} f(x) = 1
\displaystyle \lim_{x\to -5} f(x) não existe.

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