Exercs. 1-28: Calcule a derivada.
R(w)=\frac{\cos w}{1-\operatorname{sen} w}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
R(w)=\frac{\cos w}{1-\sin w}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente e a identidade trigonométrica \sin^2w+\cos^2w=1.

Passo 2

Identificamos a parte de cima como u(w)=\cos w e a de baixo como v(w)=1-\sin w. Calculamos suas derivadas:
u'(w)=\frac{d}{dw}[\cos w]=-\sin w, \qquad v'(w)=\frac{d}{dw}[1-\sin w]=-\cos w.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
R'(w) =\frac{u'(w)\,v(w)-u(w)\,v'(w)}{[v(w)]^2} =\frac{(-\sin w)(1-\sin w)-(\cos w)(- \cos w)}{(1-\sin w)^2}.

Passo 4

No numerador, desenvolvemos e usamos \sin^2w+\cos^2w=1:
(-\sin w)(1-\sin w)+\cos^2w =-\sin w+\sin^2w+\cos^2w =-\sin w+1.
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R'(w)=\frac{1-\sin w}{(1-\sin w)^2}.

Passo 5

Cancelamos um fator 1-\sin w no numerador e no denominador:
R'(w)=\frac{1}{1-\sin w}.

Resposta

R'(w)=\frac{1}{1-\sin w}.

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