Exercs. 1-34: Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
In \cot \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\cot\bigl(x^{2}\bigr). Aqui vamos usar o conteúdo de derivada de função composta (regra da cadeia) e a derivada da função trigonométrica \cot(u).

Passo 2

Primeiro, lembramos que a derivada de \cot(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\cot(u) = -\csc^{2}(u).

Passo 3

Em seguida, identificamos a parte interna u(x)=x^{2}. A derivada dessa parte é
u'(x) = \frac{d}{dx}x^{2} = 2x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da parte externa pela derivada da parte interna:
f'(x) = \frac{d}{dx}\cot\bigl(x^{2}\bigr) = \biggl(\frac{d}{du}\cot(u)\biggr)_{u=x^{2}}\cdot u'(x) = \bigl(-\csc^{2}(x^{2})\bigr)\cdot (2x).

Resposta

f'(x) = -2x\,\csc^{2}\bigl(x^{2}\bigr).

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