Exercs. 29-46: Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n^5+4 n^3+12 n^8+n^4+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty n^5+4n^3+12n^8+n^4+2 converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é séries numéricas e em particular o teste de comparação (ou comparação limite) com uma p-série. Vamos usar teoria de p-séries e comparação limite.

Passo 2

Primeiro, analisamos o comportamento assintótico do termo geral an=n^5+4n^3+12n^8+n^4+2 quando ntoinfty. Dividindo numerador e denominador por n^8 obtemos:
n^5+4n^3+12n^8+n^4+2 = n^-3 + 4n^-5 + n^-82 + n^-4 + 2n^-8 approx n^-32 = 12n^3

Passo 3

Como o termo geral se comporta como 12n^3 para grandes n, vamos comparar com a p-série sum1n^3, que sabemos convergir pois 3>1. No teste de comparação limite, consideramos bn=1/n^3 e calculamos
L = limntoinftyanbn = limntoinftyn^5+4n^3+12n^8+n^4+21n^3 = limntoinftyn^8+4n^6+n^32n^8+n^4+2 = 12
Como 0 e sum bn converge, concluímos que sum an também converge.

Passo 4

Portanto, pelo teste de comparação limite com a p-série de expoente 3, a série original converge.

Resposta

A série converge.

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