Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1raiz[3]n 3^n x^n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty(-1)^n-11raiz[3]n,3^nx^n. O conteúdo envolve séries de potências e usamos o teste da raiz para achar o raio de convergência, depois checamos os extremos x=3 e x=-3.

Passo 2

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da raiz na sequência dos coeficientes an = (-1)^n-11n^1/33^n. Calculamos
limntoinftyraiz[n]|an| = limntoinfty|x|3,n^-1/(3n) = |x|3

Passo 3

A condição de convergência é |x|3<1, ou seja |x|<3. Portanto o raio de convergência é R=3 e a série converge para -3.

Passo 4

No extremo x=3 a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-11n^1/3
Como 1/n^1/3 é decrescente para n>=1 e tende a zero, pelo teste de Leibniz essa série alternante converge (condicionalmente, pois sum1/n^1/3 diverge).

Passo 5

No extremo x=-3 a série fica
sumn=1^infty(-1)^n-1(-3)^nn^1/33^n = -sumn=1^infty1n^1/3, que é (até o sinal) a série sum1/n^1/3 e diverge pelo critério da série-p com p=1/3<=1.

Resposta

O intervalo de convergência é (-3,,3].

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