Exercs. 1-30: Determine f^{\prime}(x) para f(x) igual à expressão dada.
\ln \cos e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \ln\bigl(\cos(e^{-x})\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a funções compostas: primeiro temos o logaritmo, depois o cosseno e por fim a exponencial e^{-x}.

Passo 2

Definimos a função intermediária
u(x) = \cos\bigl(e^{-x}\bigr).
Como f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), pela regra da cadeia vale
f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Primeiro, derivada de \cos(t) é -\sin(t) vezes t', onde t=e^{-x}. Em seguida, t'=d(e^{-x})/dx = -e^{-x}. Portanto,
u'(x) = -\sin\bigl(e^{-x}\bigr)\;\bigl(-e^{-x}\bigr) = e^{-x}\,\sin\bigl(e^{-x}\bigr).

Passo 4

Substituindo u'(x) e u(x) em
f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}
temos
f'(x) = \frac{e^{-x}\,\sin\bigl(e^{-x}\bigr)}{\cos\bigl(e^{-x}\bigr)} = e^{-x}\,\tan\bigl(e^{-x}\bigr).

Resposta

f'(x) = e^{-x}\,\tan\bigl(e^{-x}\bigr).

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