Exercs. 1-34: Determine f^{\prime}(x) para f(x) dada.
\ln \left(4 x^{3}-x^{2}+2\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln\bigl(4x^{3}-x^{2}+2\bigr). Vamos usar a regra da cadeia, pois temos um logaritmo natural de uma função composta.

Passo 2

Recordando a regra da cadeia para logaritmo natural: se f(x)=\ln(u(x)), então
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Identificamos u(x)=4x^{3}-x^{2}+2. Calculando sua derivada:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-x^{2}+2\bigr) =12x^{2}-2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula da regra da cadeia,
f'(x) =\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{12x^{2}-2x}{4x^{3}-x^{2}+2}.

Resposta

f'(x)=\frac{12x^{2}-2x}{4x^{3}-x^{2}+2}.

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