Exercs. 7-62: Calcule a derivada.
g(z)=\operatorname{sec} (2 z+1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(z)=\operatorname{sec}\bigl((2z+1)^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada a uma função composta \operatorname{sec}(u), lembrando que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr]=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u).

Passo 2

Definimos a função interna
u(z)=(2z+1)^{2}
e a função externa
v(u)=\operatorname{sec}(u),
de modo que g(z)=v\bigl(u(z)\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(z). Como u(z)=(2z+1)^{2}, pela regra do poder e da cadeia interna,
u'(z)=2\,(2z+1)\cdot\frac{d}{dz}(2z+1) =2\,(2z+1)\cdot2 =4\,(2z+1).

Passo 4

Agora aplicamos a derivada da função externa v(u)=\operatorname{sec}(u). Temos
v'(u)=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u).
Pela regra da cadeia,
g'(z)=v'\bigl(u(z)\bigr)\cdot u'(z) =\operatorname{sec}\bigl((2z+1)^{2}\bigr)\,\tan\bigl((2z+1)^{2}\bigr)\cdot\bigl[4\,(2z+1)\bigr].

Resposta

g'(z) =4\,(2z+1)\,\operatorname{sec}\bigl((2z+1)^{2}\bigr)\,\tan\bigl((2z+1)^{2}\bigr).

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