Exercs. 35-38: Mostre que f é contínua no intervalo dado.
35 f(x)=\sqrt{x-4} ;\quad[4,8] ;\quad 38 f(x)=\frac{1}{x-1} ;(1,3)
Passo 1
O enunciado pede que se mostre que as funções dadas são contínuas nos respectivos intervalos. Temos duas partes separadas enviadas juntas:
Função 35: f(x)=\sqrt{x-4} no intervalo [4,8].
Função 38: f(x)=\dfrac{1}{x-1} no intervalo (1,3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Para f(x)=\sqrt{x-4} a expressão só está definida quando x-4\ge 0, isto é para x\ge 4. O intervalo pedido [4,8] está dentro do domínio dessa função.
Para f(x)=\dfrac{1}{x-1} a expressão só está definida quando x-1\ne 0, isto é para x\ne 1. O intervalo pedido (1,3) não contém x=1 e, de fato, para x\in(1,3) temos x-1>0, então a função está bem definida ali.
O objetivo é provar, com explicações didáticas, que cada função é contínua em todo o respectivo intervalo dado.
Passo 2
Definição e ideia de continuidade (aulas rápidas, sem jargão complicado).
Definição pontual: Dizemos que uma função g é contínua num ponto a se \lim_{x\to a} g(x)=g(a). Em palavras: quando x se aproxima de a, os valores g(x) se aproximam de g(a).
Para um intervalo aberto, pedimos que a função seja contínua em todo ponto interior do intervalo (limite bilateral).
Para um intervalo fechado como [4,8], no extremo 4 a continuidade exige a continuidade à direita: \lim_{x\to 4^+} g(x)=g(4); no extremo 8 exige continuidade à esquerda: \lim_{x\to 8^-} g(x)=g(8). Nos pontos interiores os limites bilaterais se aplicam.
Ferramenta prática que vamos usar: funções básicas (polinômios, soma, produto, composição) são contínuas; se uma função simples s(u) é contínua no ponto u_0 e h(x) é contínua em x_0 com h(x_0)=u_0, então a composição s(h(x)) é contínua em x_0. Vou provar a continuidade das funções raiz quadrada e recíproca quando necessário (porque são chave aqui).
Passo 3
Continuidade da raiz quadrada s(u)=\sqrt{u} no domínio [0,\infty). Vou provar uma fórmula útil e usá-la para um argumento epsilon-delta simples.
Portanto, se quisermos \left|\sqrt{u}-\sqrt{a}\right|<\varepsilon basta garantir |u-a|<\delta com
\delta=\varepsilon\sqrt{a}.
Isto é, dado \varepsilon>0 escolhemos \delta=\varepsilon\sqrt{a}. Assim |u-a|<\delta implica \left|\sqrt{u}-\sqrt{a}\right|<\varepsilon. Concluímos que \sqrt{u} é contínua em a>0.
Caso 2: a=0.
Então \left|\sqrt{u}-\sqrt{0}\right|=\sqrt{u}. Para garantir \sqrt{u}<\varepsilon basta pedir u<\varepsilon^{2}. Assim, dado \varepsilon>0 tomamos \delta=\varepsilon^{2}. Se |u-0|<\delta então u<\delta e logo \sqrt{u}<\varepsilon. Concluímos que \sqrt{u} é contínua em 0.
Com isso mostramos que s(u)=\sqrt{u} é contínua para todo u\ge 0.
Passo 4
Aplicando a continuidade da raiz para a função f(x)=\sqrt{x-4}.
Note que x\mapsto x-4 é uma função afim (polinomial de grau 1), e polinômios são contínuos em todo ponto real. Logo a transformação h(x)=x-4 é contínua para todo x.
A função que aplica a raiz é s(u)=\sqrt{u}, e provamos no passo anterior que s é contínua em todo u\ge 0.
A função composta f(x)=s(h(x))=\sqrt{x-4} será contínua em todo x tal que h(x)=x-4\ge 0, isto é, para todo x\ge 4. Em particular, no intervalo fechado [4,8] temos x\ge4 sempre, então f é contínua em cada ponto de [4,8].
Comentário sobre o extremo x=4: no ponto x=4 a função vale f(4)=\sqrt{4-4}=0. Como f é contínua em x=4 (propriedade da composição e também pode-se verificar pela prova direta do passo 3 para a=0), a continuidade à direita em 4 também está garantida, isto é \lim_{x\to 4^+}\sqrt{x-4}=0=f(4).
Passo 5
Continuidade da função recíproca g(t)=\dfrac{1}{t} para t\ne 0.
Quero provar que g é contínua em qualquer ponto t_0 com t_0\ne 0. Começo com a diferença
Para controlar a quantidade à direita usando |t-t_0|, preciso garantir que |t| não fique muito pequeno quando t está perto de t_0. Escolho um raio de vizinhança pequeno: por exemplo, tomo \delta_1=\dfrac{|t_0|}{2}. Se |t-t_0|<\delta_1 então |t|\ge |t_0|-|t-t_0|>|t_0|-\dfrac{|t_0|}{2}=\dfrac{|t_0|}{2}. Assim, para tais t,
Isso mostra a continuidade de g(t)=1/t em qualquer t_0\ne 0.
Passo 6
Aplicando a continuidade da função recíproca à função f(x)=\dfrac{1}{x-1}.
A função h(x)=x-1 é contínua (é polinomial de grau 1).
A função recíproca g(t)=1/t é contínua para t\ne0 (provado no passo anterior).
A composição f(x)=g(h(x))=\dfrac{1}{x-1} é contínua em todo x tal que h(x)\ne 0, isto é, em todo x com x-1\ne 0.
No intervalo (1,3) temos x-1>0 (logo nunca zero), portanto f é contínua em cada ponto de (1,3). A prova por epsilon-delta poderia ser feita diretamente em torno de um ponto arbitrário c\in(1,3) aplicando o argumento do passo 5 com t_0=c-1, mas a composição já resume esse raciocínio: como h\text{(c)}=c-1\ne 0 e g contínua no número c-1, então f é contínua em c. Como c foi arbitrário em (1,3), f é contínua em todo o intervalo (1,3).
Passo 7
Resumo final e motivação curta para a prova em prova: ambas as funções são compostas por operações contínuas (translação + raiz ou translação + recíproca) em pontos onde as operações são válidas; provou-se a continuidade das peças fundamentais (raiz e recíproca) por argumentos diretos, logo as composições são contínuas nos intervalos pedidos.
Resposta
f(x)=\sqrt{x-4} é contínua em [4,8]. f(x)=\dfrac{1}{x-1} é contínua em (1,3).