Exercs. 35-38: Mostre que f é contínua no intervalo dado.
36 f(x)=\sqrt{16-x} ;(-\infty, 16)
Passo 1
O enunciado dá a função f e o intervalo onde temos que mostrar continuidade:
f(x)=\sqrt{16-x}.
Intervalo pedido: (-\infty,16).
A tarefa é: mostrar que f é contínua em todo ponto a de (-\infty,16). Ou seja, para cada a<16 devemos provar que \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Passo 2
Relembrando a definição de continuidade num ponto (passo-a-passo, sem economizar explicação):
Dizemos que f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |x-a|<\delta e x está no domínio de f, vale |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
Vou provar a continuidade de f escolhendo um ponto arbitrário a com a<16 e construindo, para dado \varepsilon>0, um \delta>0 que satisfaça a condição acima.
Passo 3
Observação útil (fatorização de diferença de raízes quadradas):
para quaisquer números u\ge 0 e v\ge 0 vale a identidade
Assim, para esse \delta a condição da definição de continuidade é satisfeita.
Passo 7
Como a escolha de a foi arbitrária no intervalo (-\infty,16), o argumento acima prova que para todo a<16 e para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon\sqrt{16-a}) tal que |x-a|<\delta implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Logo f é contínua em cada ponto a\in(-\infty,16).
Breve comentário encorajador: deu trabalho, mas a ideia central foi controlar a diferença das raízes usando a identidade do passo 3 e aproveitar que \sqrt{16-a} é positivo para cada a<16. Isso é uma técnica padrão que vale a pena decorar para a prova.