Exercs. 35-38: Mostre que f é contínua no intervalo dado.
36 f(x)=\sqrt{16-x} ;(-\infty, 16)

Passo 1

O enunciado dá a função f e o intervalo onde temos que mostrar continuidade:
  • f(x)=\sqrt{16-x}.
  • Intervalo pedido: (-\infty,16).
A tarefa é: mostrar que f é contínua em todo ponto a de (-\infty,16). Ou seja, para cada a<16 devemos provar que \lim_{x\to a} f(x)=f(a).

Passo 2

Relembrando a definição de continuidade num ponto (passo-a-passo, sem economizar explicação):
  • Dizemos que f é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que |x-a|<\delta e x está no domínio de f, vale |f(x)-f(a)|<\varepsilon.
    Vou provar a continuidade de f escolhendo um ponto arbitrário a com a<16 e construindo, para dado \varepsilon>0, um \delta>0 que satisfaça a condição acima.

Passo 3

Observação útil (fatorização de diferença de raízes quadradas):
para quaisquer números u\ge 0 e v\ge 0 vale a identidade
\left|\sqrt{u}-\sqrt{v}\right|=\frac{|u-v|}{\sqrt{u}+\sqrt{v}}.
Isso vem de multiplicar numerador e denominador por \sqrt{u}+\sqrt{v}. Guardaremos essa fórmula para aplicar em seguida com u=16-x e v=16-a.

Passo 4

Escolha um ponto arbitrário a com a<16. Note que 16-a>0, portanto \sqrt{16-a} é um número positivo fixo. Queremos controlar
\left|\sqrt{16-x}-\sqrt{16-a}\right|
quando x estiver perto de a.
Usando a identidade do passo anterior com u=16-x e v=16-a obtemos
\left|\sqrt{16-x}-\sqrt{16-a}\right| = \frac{|(16-x)-(16-a)|}{\sqrt{16-x}+\sqrt{16-a}} = \frac{|x-a|}{\sqrt{16-x}+\sqrt{16-a}}.

Passo 5

Agora uma desigualdade simples que facilita a escolha de \delta: como \sqrt{16-x}\ge 0 para todo x no domínio, temos
\sqrt{16-x}+\sqrt{16-a}\ge \sqrt{16-a}.
Portanto
\left|\sqrt{16-x}-\sqrt{16-a}\right| \le \frac{|x-a|}{\sqrt{16-a}}.
Note que \sqrt{16-a}>0 é uma constante que depende só de a.

Passo 6

Agora fazemos a construção \varepsilon- \delta. Seja dado qualquer \varepsilon>0. Se escolhermos
\delta = \varepsilon\cdot \sqrt{16-a},
então sempre que |x-a|<\delta temos, pela desigualdade do passo anterior,
\left|\sqrt{16-x}-\sqrt{16-a}\right| \le \frac{|x-a|}{\sqrt{16-a}} < \frac{\delta}{\sqrt{16-a}} = \varepsilon.
Assim, para esse \delta a condição da definição de continuidade é satisfeita.

Passo 7

Como a escolha de a foi arbitrária no intervalo (-\infty,16), o argumento acima prova que para todo a<16 e para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon\sqrt{16-a}) tal que |x-a|<\delta implica |f(x)-f(a)|<\varepsilon. Logo f é contínua em cada ponto a\in(-\infty,16).
Breve comentário encorajador: deu trabalho, mas a ideia central foi controlar a diferença das raízes usando a identidade do passo 3 e aproveitar que \sqrt{16-a} é positivo para cada a<16. Isso é uma técnica padrão que vale a pena decorar para a prova.

Resposta

f é contínua em (-\infty,16).

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