Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais f é contínua.
46 f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}
e pede: “Ache todos os valores para os quais f é contínua.”
Informações fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x) está acima.
  • Não há figura nem restrição adicional no enunciado.

Passo 2

O que significa “ser contínua num ponto”? Vou explicar do jeito mais direto e útil para prova.
Definição (intuitiva e prática): dizemos que f é contínua em um ponto a quando o limite de f(x) quando x se aproxima de a existe e é igual ao valor da função em a. Em símbolos:
\text{\(f\) é contínua em \(a\)} \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a} f(x)=f(a).éí
Aqui:
  • \lim_{x\to a} f(x) significa o valor para o qual f(x) se aproxima quando x fica cada vez mais perto de a.
  • f(a) é simplesmente o valor que a função toma no próprio ponto a (desde que esteja definida em a).
Fato útil (regras de limite): limites de soma, produto e quociente funcionam da mesma forma que as operações com números, desde que os limites das partes existam e, no caso do quociente, o limite do denominador não seja zero. Em particular, se \lim_{x\to a} g(x)=G e \lim_{x\to a} h(x)=H com H\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{G}{H}.

Passo 3

Antes de aplicar limites é importante verificar o domínio (onde f está definida). A função dada é um quociente, então ela está definida sempre que o denominador não for zero. O denominador é x^{2}+1. Vou mostrar que ele nunca é zero para x real:
Para todo x\in\mathbb{R} temos x^{2}\ge 0, logo
x^{2}+1 \ge 0+1 = 1.
Portanto x^{2}+1\ge 1>0 para todo x. Em particular o denominador nunca se anula. Conclusão: a função f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} está definida para todo x\in\mathbb{R}; ou seja, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 4

Agora faço o teste de continuidade em um ponto arbitrário a\in\mathbb{R}. A ideia é calcular \lim_{x\to a} f(x) e verificar se é igual a f(a).
Começo aplicando as regras de limite às partes:
  • \lim_{x\to a} x = a. (Isso é elementar: a função identidade é contínua.)
  • \lim_{x\to a} (x^{2}+1) = a^{2}+1. (Porque x\mapsto x^{2} e x\mapsto 1 são contínuas e somando os limites obtemos a^{2}+1.)
Como já vimos em Passo 3 temos a^{2}+1>0, o que permite usar a regra do quociente. Assim
\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a}\frac{x}{x^{2}+1} = \frac{\lim_{x\to a} x}{\lim_{x\to a} (x^{2}+1)} = \frac{a}{a^{2}+1}.

Passo 5

Comparo o limite encontrado com o valor da função no ponto a. Pelo domínio, f(a) está bem definido e é
f(a)=\frac{a}{a^{2}+1}.
Logo
\lim_{x\to a} f(x)=\frac{a}{a^{2}+1}=f(a).
Isto mostra, pela definição de continuidade, que f é contínua em um ponto arbitrário a\in\mathbb{R}.
Um pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: para a=0 temos f(0)=0/(0+1)=0 e \lim_{x\to0} f(x)=0 (substituição direta). Para a=1 temos f(1)=1/(1+1)=1/2 e \lim_{x\to1} f(x)=1/2. Em ambos os casos o limite coincide com o valor da função.

Passo 6

Como a foi um ponto qualquer de \mathbb{R}, a demonstração do Passo 5 vale para todo a\in\mathbb{R}. Portanto f é contínua em todo ponto do seu domínio, e o domínio é \mathbb{R}.

Resposta

f é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

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