Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais
é contínua.
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Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: “Ache todos os valores para os quais
é contínua.”
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão explícita de
está acima. - Não há figura nem restrição adicional no enunciado.
Passo 2
O que significa “ser contínua num ponto”? Vou explicar do jeito mais direto e útil para prova.
Definição (intuitiva e prática): dizemos que
é contínua em um ponto
quando o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função em
. Em símbolos:
Aqui:
-
significa o valor para o qual se aproxima quando fica cada vez mais perto de . -
é simplesmente o valor que a função toma no próprio ponto (desde que esteja definida em ).
Fato útil (regras de limite): limites de soma, produto e quociente funcionam da mesma forma que as operações com números, desde que os limites das partes existam e, no caso do quociente, o limite do denominador não seja zero. Em particular, se
e
com
, então
Passo 3
Antes de aplicar limites é importante verificar o domínio (onde
está definida). A função dada é um quociente, então ela está definida sempre que o denominador não for zero. O denominador é
. Vou mostrar que ele nunca é zero para
real:
Para todo
temos
, logo
Portanto
para todo
. Em particular o denominador nunca se anula. Conclusão: a função
está definida para todo
; ou seja, o domínio é
.
Passo 4
Agora faço o teste de continuidade em um ponto arbitrário
. A ideia é calcular
e verificar se é igual a
.
Começo aplicando as regras de limite às partes:
-
. (Isso é elementar: a função identidade é contínua.) -
. (Porque e são contínuas e somando os limites obtemos .)
Como já vimos em Passo 3 temos
, o que permite usar a regra do quociente. Assim
Passo 5
Comparo o limite encontrado com o valor da função no ponto
. Pelo domínio,
está bem definido e é
Logo
Isto mostra, pela definição de continuidade, que
é contínua em um ponto arbitrário
.
Um pequeno exemplo numérico para fixar a ideia: para
temos
e
(substituição direta). Para
temos
e
. Em ambos os casos o limite coincide com o valor da função.
Passo 6
Como
foi um ponto qualquer de
, a demonstração do Passo 5 vale para todo
. Portanto
é contínua em todo ponto do seu domínio, e o domínio é
.