Exercs. 35-38: Mostre que f é contínua no intervalo dado.
37 f(x)=\frac{1}{x^{2}} ;\quad(0, \infty) ;

Passo 1

O enunciado dá a função f e o intervalo onde devemos provar continuidade:
  • Função: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • Intervalo: (0,\infty).
O que se pede: mostrar que f é contínua em todo o intervalo (0,\infty). Ou seja, para todo ponto c\in(0,\infty) devemos provar que \lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada devagar): dizer que f é contínua em um ponto c significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-c|<\delta (e x estiver no domínio), teremos |f(x)-f\text{(c)}|<\varepsilon.
Aqui c é um número fixo e positivo ( c>0). As variáveis:
  • \varepsilon é qualquer pequeno número positivo que representa a precisão desejada no valor da função.
  • \delta é a tolerância no argumento x que garante a precisão pedida.
Vou provar a continuidade de duas maneiras: (A) usando propriedades conhecidas de funções contínuas (mais rápido), e (B) fazendo um exemplo concreto de prova \varepsilon- \delta para treinar o método que costumam cobrar na prova.

Passo 3

Método (A) — argumento por composição e propriedades:
  • Polinômios são contínuos em todo \mathbb{R}. Em particular, a função g(x)=x e h(x)=x^{2} são contínuas em todo \mathbb{R}.
  • A função recíproca r(y)=\dfrac{1}{y} é contínua em todo o seu domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}. (Intuição: quando y varia pouco longe de um valor não nulo, 1/y também varia pouco.)
  • Composição: se h é contínua em c e r é contínua em h\text{(c)}, então r\circ h é contínua em c.
Aplicando ao nosso caso:
  • h(x)=x^{2} é contínua em qualquer c.
  • Para c>0 temos h\text{(c)}=c^{2}>0, logo r é contínua em h\text{(c)} (pois h\text{(c)}\neq0).
  • Portanto f(x)=r(h(x))=\dfrac{1}{x^{2}} é contínua em cada c>0.
Como c foi um ponto arbitrário de (0,\infty), concluímos que f é contínua em todo (0,\infty).

Passo 4

Método (B) — prova \varepsilon- \delta direta (para treinar o estilo formal):
Tomemos um ponto arbitrário c\in(0,\infty) e um \varepsilon>0. Queremos achar \delta>0 tal que, se |x-c|<\delta e x>0, então
\left|\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\right|<\varepsilon.
Faço manipulação algébrica para obter um fator |x-c| na estimativa:
\left|\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\right| =\left|\frac{c^{2}-x^{2}}{x^{2}c^{2}}\right| =\frac{|x-c|\,|x+c|}{x^{2}c^{2}}.
Para controlar o fator |x+c| e garantir que x^{2} não fique muito pequeno (pois estamos dividindo por x^{2}), impomos uma restrição inicial sobre \delta. Escolhemos \delta\le \dfrac{c}{2}. Assim, sempre que |x-c|<\delta teremos
x>c-\delta\ge c-\frac{c}{2}=\frac{c}{2},
portanto x\in\bigl(\tfrac{c}{2},\tfrac{3c}{2}\bigr). Dessa forma:
  • x^{2}\ge\bigl(\tfrac{c}{2}\bigr)^{2}=\dfrac{c^{2}}{4}.
  • |x+c|\le x+c \le \frac{3c}{2}+c=\frac{5c}{2}.
Usando essas desigualdades na expressão anterior:
\left|\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\right| \le \frac{|x-c|\cdot \tfrac{5c}{2}}{\tfrac{c^{2}}{4}\,c^{2}} =|x-c|\cdot\frac{4\cdot \tfrac{5c}{2}}{c^{4}} =|x-c|\cdot\frac{10}{c^{3}}.
Então, para garantir \left|\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{c^{2}}\right|<\varepsilon basta exigir
|x-c|<\frac{\varepsilon c^{3}}{10}.
Combine essa necessidade com a restrição inicial \delta\le \dfrac{c}{2}. Definimos, portanto,
\delta=\min\!\left(\frac{c}{2},\;\frac{\varepsilon c^{3}}{10}\right).
Com essa escolha, sempre que |x-c|<\delta (e x>0) vale a cadeia de desigualdades acima e obtemos \left|\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{c^{2}}\right|<\varepsilon. Isso prova, pelo critério \varepsilon- \delta, que f é contínua em c.

Passo 5

Conclusão clara e encorajadora: como c foi um ponto arbitrário de (0,\infty), a prova \varepsilon- \delta mostra que f é contínua em todo ponto de (0,\infty). A demonstração por propriedades (composição de contínuas) dá o mesmo resultado de forma mais curta; a prova \varepsilon- \delta dá prática com estimativas para a prova no estilo da prova formal.

Resposta

f é contínua em (0,\infty).

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