Exercs. 57-60: Denotemos por [[ ]] a função maior inteiro, e seja n um inteiro arbitrário. Determine
59 f(x)=-[[-x]]

Passo 1

O enunciado dá a função maior inteiro (denotada por \lfloor\!\lfloor\\ \rfloor\!\rfloor no enunciado, aqui escrevo simplesmente \lfloor\cdot\rfloor para clareza) e pede que se determine
f(x) = -\lfloor -x\rfloor.
Informações dadas:
  • \lfloor y\rfloor significa "o maior inteiro menor ou igual a y".
  • n é um inteiro arbitrário (o enunciado lembra que as expressões serão descritas em função de um inteiro genérico).
    O que se pede:
  • Descrever explicitamente f(x) para todo x\in\mathbb{R}, usando n quando for conveniente (por exemplo, como expressão em partes).

Passo 2

Entendendo a função maior inteiro (relembrando devagar e com exemplos).
  • Por definição, se \lfloor y\rfloor = m com m inteiro, então
m \le y < m+1.
Ou seja: sempre que y está entre m (incluso) e m+1 (excluso), a parte inteira cai em m.
Exemplos rápidos para fixar:
  • Se y=2{,}7 então \lfloor 2{,}7\rfloor=2 porque 2\le2{,}7<3.
  • Se y=-1{,}2 então \lfloor -1{,}2\rfloor=-2 porque -2\le-1{,}2<-1.
    Esses exemplos mostram cuidado com sinais: para y negativo a parte inteira pode ser menor (mais negativo) que a parte inteira truncada.

Passo 3

Aplique a definição com y=-x. Seja
\lfloor -x\rfloor = m,
onde m é um inteiro que satisfaz
m \le -x < m+1.
Agora manipule essa desigualdade para isolar x. Multiplicando tudo por -1 e invertendo as desigualdades, obtemos
-m \ge x > -(m+1).
Reescrevendo na ordem usual (do menor para o maior):
-(m+1) < x \le -m.

Passo 4

Faça a mudança de variável natural para ligar com um inteiro n. Defina n = -m. Então n é inteiro e as desigualdades do passo anterior ficam
n-1 < x \le n.
Além disso, lembrando que f(x) = -\lfloor -x\rfloor e que \lfloor -x\rfloor = m, temos
f(x) = -m = n.
Portanto, sempre que x satisfaz n-1 < x \le n (com n inteiro), então f(x)=n. Isto é exatamente a definição da função teto (ceiling): o menor inteiro maior ou igual a x.
Exemplos para checar:
  • Se x=2{,}3: então 2< x \le 3 com n=3, e f(2{,}3)=3. Calculando diretamente: -x=-2{,}3, \lfloor -2{,}3\rfloor=-3, e -(-3)=3.
  • Se x=5: então 4< x \le 5 com n=5, e f(5)=5. Diretamente: -5 tem parte inteira -5, logo -(-5)=5.

Passo 5

Conclusão clara e a identidade final: a função dada coincide com a função teto. Em notação padrão,
f(x) = -\lfloor -x\rfloor = \lceil x\rceil,
ou, escrito em partes usando um inteiro arbitrário n,
\text{se } n-1 < x \le n \text{ (com \(n\in\mathbb{Z}\)) então } f(x)=n.ã

Resposta

\,f(x)=\lceil x\rceil
\,f(x)=n para \,n-1<x\le n (com n\in\mathbb{Z}).

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