Exercs. 57-60: Denotemos por [[ ]] a função maior inteiro, e seja
um inteiro arbitrário. Determine
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Passo 1
O enunciado dá a função maior inteiro (denotada por
no enunciado, aqui escrevo simplesmente
para clareza) e pede que se determine
Informações dadas:
-
significa "o maior inteiro menor ou igual a ". -
é um inteiro arbitrário (o enunciado lembra que as expressões serão descritas em função de um inteiro genérico).
O que se pede: - Descrever explicitamente
para todo , usando quando for conveniente (por exemplo, como expressão em partes).
Passo 2
Entendendo a função maior inteiro (relembrando devagar e com exemplos).
- Por definição, se
com inteiro, então
Ou seja: sempre que
está entre
(incluso) e
(excluso), a parte inteira cai em
.
Exemplos rápidos para fixar:
Exemplos rápidos para fixar:
- Se
então porque . - Se
então porque .
Esses exemplos mostram cuidado com sinais: paranegativo a parte inteira pode ser menor (mais negativo) que a parte inteira truncada.
Passo 3
Aplique a definição com
. Seja
onde
é um inteiro que satisfaz
Agora manipule essa desigualdade para isolar
. Multiplicando tudo por
e invertendo as desigualdades, obtemos
Reescrevendo na ordem usual (do menor para o maior):
Passo 4
Faça a mudança de variável natural para ligar com um inteiro
. Defina
. Então
é inteiro e as desigualdades do passo anterior ficam
Além disso, lembrando que
e que
, temos
Portanto, sempre que
satisfaz
(com
inteiro), então
. Isto é exatamente a definição da função teto (ceiling): o menor inteiro maior ou igual a
.
Exemplos para checar:
- Se
: então com , e . Calculando diretamente: , , e . - Se
: então com , e . Diretamente: tem parte inteira , logo .
Passo 5
Conclusão clara e a identidade final: a função dada coincide com a função teto. Em notação padrão,
ou, escrito em partes usando um inteiro arbitrário
,