Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais f é contínua.
48 f(x)=\frac{4 x-7}{(x+3)\left(x^{2}+2 x-8\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{4x-7}{(x+3)\left(x^{2}+2x-8\right)}
e pede: achar todos os valores de x para os quais f é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x) está acima.
  • O denominador está escrito como produto de dois fatores: (x+3) e \left(x^{2}+2x-8\right).
  • Não há outras condições ou constantes no enunciado.

Passo 2

Ideia teórica (explicação didática): por que checar o denominador?
  • Uma função polinomial é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Uma função racional, isto é, quociente de dois polinômios, é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero.
  • Portanto, a continuidade de f reduz-se a achar os pontos onde o denominador é zero: nesses pontos f não está definida e, salvo caso de cancelamento de fatores, não é contínua aí.
  • Se um fator do denominador cancelar com um fator equivalente no numerador (remoção), pode haver um ponto onde a forma original não está definida mas a função pode ser estendida de forma contínua; se não houver cancelamento, há uma descontinuidade verdadeira (ponto onde a função não é contínua).
Vou aplicar isso passo a passo ao caso concreto.

Passo 3

Fatorar o denominador para achar seus zeros. Primeiro fator já dado é x+3. O outro é x^{2}+2x-8. Vou fatorar x^{2}+2x-8.
Procuramos dois números cuja soma seja 2 e cujo produto seja -8. Esses números são 4 e -2, pois 4+(-2)=2 e 4\cdot(-2)=-8.
Logo,
x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2).
Portanto o denominador geral fatorado é
(x+3)(x+4)(x-2).

Passo 4

Achar os zeros do denominador resolvendo cada fator igual a zero:
x+3=0 \Rightarrow x=-3,
x+4=0 \Rightarrow x=-4,
x-2=0 \Rightarrow x=2.
Então o denominador se anula em x=-4,\,-3,\,2. Nesses pontos a forma dada de f(x) está indefinida (divisão por zero).

Passo 5

Verificar se há cancelamento com o numerador 4x-7. Para haver cancelamento, o numerador deveria ter um fator que se anula nos mesmos valores do denominador. Como o numerador é linear, calculo seus valores em cada raiz do denominador:
4(-4)-7 = -16-7 = -23 \neq 0,
4(-3)-7 = -12-7 = -19 \neq 0,
4(2)-7 = 8-7 = 1 \neq 0.
Como 4x-7 não se anula em x=-4,\,-3,\,2, não há nenhum fator comum; portanto não há cancelamento possível.

Passo 6

Conclusão sobre continuidade local: por ser quociente de polinômios, f é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Como não houve cancelamento, nos pontos x=-4,\,-3,\,2 a função não está definida e portanto não é contínua nesses pontos. Em todo outro x\in\mathbb{R} o denominador é não nulo e f é contínua.

Passo 7

Expressar o conjunto de continuidade de forma clara. A função é contínua para todos os reais exceto os três pontos onde o denominador se anula. Em notação de união de intervalos:
(-\infty,-4)\cup(-4,-3)\cup(-3,2)\cup(2,\infty).

Resposta

\;(-\infty,-4)\cup(-4,-3)\cup(-3,2)\cup(2,\infty)

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