Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais
é contínua.
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Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede: achar todos os valores de
para os quais
é contínua.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
está acima. - O denominador está escrito como produto de dois fatores:
e . - Não há outras condições ou constantes no enunciado.
Passo 2
Ideia teórica (explicação didática): por que checar o denominador?
- Uma função polinomial é contínua em todo
. - Uma função racional, isto é, quociente de dois polinômios, é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero.
- Portanto, a continuidade de
reduz-se a achar os pontos onde o denominador é zero: nesses pontos não está definida e, salvo caso de cancelamento de fatores, não é contínua aí. - Se um fator do denominador cancelar com um fator equivalente no numerador (remoção), pode haver um ponto onde a forma original não está definida mas a função pode ser estendida de forma contínua; se não houver cancelamento, há uma descontinuidade verdadeira (ponto onde a função não é contínua).
Vou aplicar isso passo a passo ao caso concreto.
Passo 3
Fatorar o denominador para achar seus zeros. Primeiro fator já dado é
. O outro é
. Vou fatorar
.
Procuramos dois números cuja soma seja e cujo produto seja
. Esses números são
e
, pois
e
.
Logo,
Procuramos dois números cuja soma seja
Logo,
Portanto o denominador geral fatorado é
Passo 4
Achar os zeros do denominador resolvendo cada fator igual a zero:
Então o denominador se anula em
. Nesses pontos a forma dada de
está indefinida (divisão por zero).
Passo 5
Verificar se há cancelamento com o numerador
. Para haver cancelamento, o numerador deveria ter um fator que se anula nos mesmos valores do denominador. Como o numerador é linear, calculo seus valores em cada raiz do denominador:
Como
não se anula em
, não há nenhum fator comum; portanto não há cancelamento possível.
Passo 6
Conclusão sobre continuidade local: por ser quociente de polinômios,
é contínua em todos os pontos onde o denominador é diferente de zero. Como não houve cancelamento, nos pontos
a função não está definida e portanto não é contínua nesses pontos. Em todo outro
o denominador é não nulo e
é contínua.
Passo 7
Expressar o conjunto de continuidade de forma clara. A função é contínua para todos os reais exceto os três pontos onde o denominador se anula. Em notação de união de intervalos: