Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais f é contínua.
49 f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-9} \sqrt{25-x^{2}}}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede: “Ache todos os valores para os quais f é contínua”, com
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-9}\,\sqrt{25-x^{2}}}{x-4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Aparecem duas raízes quadradas: \sqrt{x^{2}-9} e \sqrt{25-x^{2}}. Para elas fazerem sentido real, seus radicandos devem ser maiores ou iguais a zero.
  • Há um denominador x-4, que não pode ser zero (caso contrário f não estaria nem definida).
  • A continuidade só pode ser analisada onde f estiver definida; assim primeiro vamos determinar o domínio.

Passo 2

Encontrar o conjunto de x em que ambos os radicandos são não negativos:
x^{2}-9 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\ge 9 \quad\Longrightarrow\quad x\le -3\\ \text{ou}\\ x\ge 3.
25-x^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\le 25 \quad\Longrightarrow\quad -5\le x\le 5.
Intersecção das duas condições: precisamos de valores que satisfaçam simultaneamente x^{2}\ge 9 e x^{2}\le 25. Isso dá
-5\le x\le -3 \quad\text{ou}\quad 3\le x\le 5.
Portanto, considerando apenas a existência das raízes, os x possíveis são os de [-5,-3]\cup[3,5].

Passo 3

Agora incluir a condição do denominador: x-4\neq 0. Como 4 pertence ao intervalo [3,5], devemos excluir x=4. Assim os pontos onde f está definida são exatamente os x em [-5,-3]\cup[3,5] com x\neq 4.

Passo 4

Analisar continuidade nos pontos do domínio:
  • Para x interno a um dos intervalos (-5,-3) ou (3,5) (exceto 4), cada fator \sqrt{x^{2}-9} e \sqrt{25-x^{2}} é uma função contínua (raízes quadradas são contínuas onde definidas). O produto de funções contínuas é contínuo, e a razão de funções contínuas é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Como x-4\neq 0 nesses pontos, f é contínua em todo ponto interior dos intervalos do domínio.
  • Nos extremos do domínio ( x=-5,-3,3,5) devemos checar continuidade por limites unilaterais ao longo do domínio. Em cada um desses pontos o numerador vale zero porque um dos radicandos é zero, logo f(-5)=\frac{\sqrt{(-5)^{2}-9}\,\sqrt{25-(-5)^{2}}}{-5-4}=0,\qquad f(-3)=0,
f(3)=0,\qquad f(5)=0,
e os limites unilaterais (pela parte do domínio) tendem ao mesmo valor 0 porque o numerador tende a 0 enquanto o denominador tende a uma constante não nula (por exemplo em x\to 3^+ o denominador tende a 3-4=-1). Portanto f é contínua também em x=-5,-3,3,5.
  • Em x=4 a função não está definida (denominador zero), logo não é contínua em 4.

Passo 5

Conclusão: f é contínua em todos os pontos onde está definida, ou seja, em todos os x com -5\le x\le -3 ou 3\le x\le 5, exceto x=4.

Resposta

\;[-5,-3]\cup[3,5]\setminus\{4\}

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