Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais
é contínua.
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Passo 1
O enunciado pede: “Ache todos os valores para os quais
é contínua”, com
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Aparecem duas raízes quadradas:
e . Para elas fazerem sentido real, seus radicandos devem ser maiores ou iguais a zero. - Há um denominador
, que não pode ser zero (caso contrário não estaria nem definida). - A continuidade só pode ser analisada onde
estiver definida; assim primeiro vamos determinar o domínio.
Passo 2
Encontrar o conjunto de
em que ambos os radicandos são não negativos:
Intersecção das duas condições: precisamos de valores que satisfaçam simultaneamente
e
. Isso dá
Portanto, considerando apenas a existência das raízes, os
possíveis são os de
.
Passo 3
Agora incluir a condição do denominador:
. Como
pertence ao intervalo
, devemos excluir
. Assim os pontos onde
está definida são exatamente os
em
com
.
Passo 4
Analisar continuidade nos pontos do domínio:
- Para
interno a um dos intervalos ou (exceto ), cada fator e é uma função contínua (raízes quadradas são contínuas onde definidas). O produto de funções contínuas é contínuo, e a razão de funções contínuas é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Como nesses pontos, é contínua em todo ponto interior dos intervalos do domínio. - Nos extremos do domínio (
) devemos checar continuidade por limites unilaterais ao longo do domínio. Em cada um desses pontos o numerador vale zero porque um dos radicandos é zero, logo
e os limites unilaterais (pela parte do domínio) tendem ao mesmo valor
porque o numerador tende a
enquanto o denominador tende a uma constante não nula (por exemplo em
o denominador tende a
). Portanto
é contínua também em
.
- Em
a função não está definida (denominador zero), logo não é contínua em .
Passo 5
Conclusão:
é contínua em todos os pontos onde está definida, ou seja, em todos os
com
ou
, exceto
.