Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais f é contínua.
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f(x)=\cot \frac{1}{3} x

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para achar todos os valores onde f é contínua. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\cot\!\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr).
  • A pergunta é: para quais valores de x a função f é contínua?

Passo 2

Vamos reescrever a função de uma forma que facilite ver onde ela está definida. Lembrando que a função cotangente pode ser escrita como quociente:
\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}.
Aqui o argumento t vale t=\tfrac{1}{3}x. Assim podemos escrever
f(x)=\frac{\cos\!\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr)}.
Para que esse quociente faça sentido (isto é, para que f(x) esteja definida) é necessário que o denominador seja diferente de zero:
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{3}x\bigr)\neq 0.
Agora identificamos os pontos onde esse seno se anula. Sabendo que \sin t=0 exatamente quando t=k\pi com k\in\mathbb{Z}, obtemos a condição
\tfrac{1}{3}x = k\pi \quad\Rightarrow\quad x = 3k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto, os pontos x=3k\pi são exatamente os pontos onde f(x) não está definida.

Passo 3

Agora vou explicar por que f é contínua em todo ponto onde está definida. Fatos importantes que vou usar (e explicar rapidinho):
  • As funções \sin t e \cos t são contínuas para todo t\in\mathbb{R}.
  • A função linear x\mapsto \tfrac{1}{3}x é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
  • Se g e h são funções contínuas e h(a)\neq 0, então o quociente g/h é contínuo em a.
Aplicando isso ao nosso caso: \cos(\tfrac{1}{3}x) e \sin(\tfrac{1}{3}x) são composições de funções contínuas, logo são contínuas em todo x. Onde \sin(\tfrac{1}{3}x)\neq 0 podemos formar o quociente \dfrac{\cos(\tfrac{1}{3}x)}{\sin(\tfrac{1}{3}x)} e, pela propriedade acima, esse quociente é contínuo nesses pontos. Em outras palavras, em cada x tal que \sin(\tfrac{1}{3}x)\neq 0 a função f é contínua.

Passo 4

Falta analisar o comportamento em x=3k\pi, os pontos onde \sin(\tfrac{1}{3}x)=0. Nessas posições f(x) não está definida (denominador zero), então não pode ser contínua aí. Para ver o tipo de descontinuidade, observe o seguinte comportamento local: para t pequeno, \sin t\approx t e \cos t\approx 1, logo
\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}\approx \frac{1}{t}.
Tomando t=\tfrac{1}{3}x e aproximando x perto de 0 (caso k=0) obtemos \cot(\tfrac{1}{3}x)\approx \dfrac{1}{x/3}=\dfrac{3}{x}, que tende para +\infty quando x\to 0^+ e para -\infty quando x\to 0^-. O mesmo tipo de comportamento vertical ocorre ao redor de cada x=3k\pi. Portanto essas descontinuidades são do tipo essencial/infinito (assintotas verticais), não removíveis.

Passo 5

Resumo do que já foi estabelecido nos passos anteriores: f(x) está definida e é contínua sempre que \sin(\tfrac{1}{3}x)\neq 0, e não está definida (logo não é contínua) nos pontos onde \sin(\tfrac{1}{3}x)=0, isto é, em x=3k\pi com k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 3k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}\}

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