Exercs. 39-54: Ache todos os valores para os quais
é contínua.
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Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para achar todos os valores onde
é contínua. Informações fornecidas:
- A função é
. - A pergunta é: para quais valores de
a função é contínua?
Passo 2
Vamos reescrever a função de uma forma que facilite ver onde ela está definida. Lembrando que a função cotangente pode ser escrita como quociente:
Aqui o argumento
vale
. Assim podemos escrever
Para que esse quociente faça sentido (isto é, para que
esteja definida) é necessário que o denominador seja diferente de zero:
Agora identificamos os pontos onde esse seno se anula. Sabendo que
exatamente quando
com
, obtemos a condição
Portanto, os pontos
são exatamente os pontos onde
não está definida.
Passo 3
Agora vou explicar por que
é contínua em todo ponto onde está definida. Fatos importantes que vou usar (e explicar rapidinho):
- As funções
e são contínuas para todo . - A função linear
é contínua para todo . - Se
e são funções contínuas e , então o quociente é contínuo em .
Aplicando isso ao nosso caso:
e
são composições de funções contínuas, logo são contínuas em todo
. Onde
podemos formar o quociente
e, pela propriedade acima, esse quociente é contínuo nesses pontos. Em outras palavras, em cada
tal que
a função
é contínua.
Passo 4
Falta analisar o comportamento em
, os pontos onde
. Nessas posições
não está definida (denominador zero), então não pode ser contínua aí. Para ver o tipo de descontinuidade, observe o seguinte comportamento local: para
pequeno,
e
, logo
Tomando
e aproximando
perto de
(caso
) obtemos
, que tende para
quando
e para
quando
. O mesmo tipo de comportamento vertical ocorre ao redor de cada
. Portanto essas descontinuidades são do tipo essencial/infinito (assintotas verticais), não removíveis.
Passo 5
Resumo do que já foi estabelecido nos passos anteriores:
está definida e é contínua sempre que
, e não está definida (logo não é contínua) nos pontos onde
, isto é, em
com
.