Exiba uma base para cada um dos espaços dados a seguir.
(x, y, z) ; x-2 y+4 z=0 subset R^3

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço de R^3 definido pela equação linear homogênea x - 2y + 4z = 0. O conteúdo aqui é encontrar uma base de um plano que passa pela origem. Para isso, vamos parametrizar as variáveis livres e escrever o vetor genérico nessa forma.

Passo 2

Para resolver x-2y+4z=0, podemos tomar y=s e z=t como parâmetros livres. Da equação, obtemos
x = 2y - 4z = 2s - 4t
Logo, um vetor genérico do subespaço é
(x,y,z) = (2s - 4t,;s,;t) = s,(2,1,0) + t,(-4,0,1)

Passo 3

Os vetores (2,1,0) e (-4,0,1) geram o subespaço e são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Portanto, formam uma base do espaço.

Resposta

Uma base para o subespaço é
(2,1,0),,(-4,0,1)

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