Exiba uma base para cada um dos espaços dados a seguir.
(x1, x2, x3, x4) ; x1+x2+x3+x4=0 subset R^4

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço de R^4 definido pela equação
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
Vamos usar resolução de sistema linear e parametrização para escrever o conjunto solução como combinação linear de vetores independentes.

Passo 2

Escolhemos três variáveis livres, por exemplo x1, x2, x3. Da equação
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
segue que
x4 = -,x1 - x2 - x3
Logo cada vetor do subespaço é da forma
(x1,x2,x3,x4) = (x1,x2,x3,-x1 - x2 - x3)

Passo 3

Reescrevendo como combinação linear, temos
(x1,x2,x3,-x1 - x2 - x3) = x1,(1,0,0,-1) + x2,(0,1,0,-1) + x3,(0,0,1,-1)
Os vetores (1,0,0,-1), (0,1,0,-1) e (0,0,1,-1) são linearmente independentes e geram todo o subespaço.

Resposta

(1,0,0,-1),, (0,1,0,-1),, (0,0,1,-1)

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