Suponha que S=(v, v2 cdots, vn) seja L.I., mas (v1, v2, cdots, vn, w) seja L.D. Mostre que w é combinação linear dos vetores de S.

Passo 1

O enunciado diz que S=v1,v2,dots,vn é linearmente independente, mas que v1,v2,dots,vn,w é linearmente dependente. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência e dependência linear e o conceito de combinação linear (span). Nosso objetivo é mostrar que w pertence ao span de S, isto é, que existe uma combinação linear dos vi que resulta em w.

Passo 2

Como v1,dots,vn,w é linearmente dependente, existem escalares alpha1,dots,alphan,beta, nem todos zero, tais que
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn+beta,w=0
Se beta=0, então teríamos
alpha1v1+alpha2v2+cdots+alphanvn=0
com pelo menos um alphaineq0, o que contradiz a independência linear de S. Portanto deve ocorrer betaneq0.

Passo 3

Como betaneq0, podemos isolar w na combinação:
w=-alpha1beta,v1-alpha2beta,v2-cdots-alphanbeta,vn
Essa expressão mostra que w é combinação linear dos vetores de S, ou seja, winspan(v1,dots,vn).

Resposta

w=-alpha1beta,v1-alpha2beta,v2-cdots-alphanbeta,vn,
logo w é combinação linear dos vetores de S.

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