Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais e em seguida determine a dimensão do espaço.
e
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
O conteúdo envolvido é a descrição de um subespaço linear por equações lineares nas entradas da matriz. Para resolver, vamos:
- Identificar quantos graus de liberdade (variáveis livres) sobraram.
- Expressar a matriz genérica de
em função dessas variáveis.V - Extrair vetores que formem base e contar quantos são (dimensão).
Passo 2
Chamemos
b e
c de variáveis livres. As restrições dizem
Logo qualquer
Xin V é da forma
Passo 3
Separe a dependência em
b e
c . Escrevendo
Isso mostra que todo vetor de
V é combinação linear desses dois.
Passo 4
Verificamos que
E1=2 & 1 0 & 0
e
E2=-1 & 0 1 & 1
são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial zera). Logo formam uma base deV .
e
são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial zera). Logo formam uma base de
Resposta
Uma base de
V é
e
dim(V)=2 .