Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais e em seguida determine a dimensão do espaço.
V=(lla & b c & d) in M2 times 2 / a=2 b-c e d=c

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
V = l,a & b c & din M2times2;m|;a=2b-c,;d=cr
O conteúdo envolvido é a descrição de um subespaço linear por equações lineares nas entradas da matriz. Para resolver, vamos:
  1. Identificar quantos graus de liberdade (variáveis livres) sobraram.
  2. Expressar a matriz genérica de V em função dessas variáveis.
  3. Extrair vetores que formem base e contar quantos são (dimensão).

Passo 2

Chamemos b e c de variáveis livres. As restrições dizem
a = 2b - c, d = c
Logo qualquer Xin V é da forma
X = a & b c & d = 2b - c & b c & c

Passo 3

Separe a dependência em b e c. Escrevendo
2b - c & b c & c = b2 & 1 0 & 0 + c-1 & 0 1 & 1
Isso mostra que todo vetor de V é combinação linear desses dois.

Passo 4

Verificamos que
E1=2 & 1 0 & 0
e
E2=-1 & 0 1 & 1
são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial zera). Logo formam uma base de V.

Resposta

Uma base de V é
l 2 & 1 0 & 0, -1 & 0 1 & 1 r,
e dim(V)=2.

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