Verifique se os vetores abaixo formam uma base para o espaço vetorial indicado.
beta=(1,2,1),(2,1,2),(1,-1,1) para R^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
beta = (1,2,1),,(2,1,2),,(1,-1,1) forma uma base de R^3.
Como são três vetores em R^3, basta checar se eles são linearmente independentes (equivalente a verificar se o determinante da matriz formada por eles é não nulo).

Passo 2

Colocamos esses vetores como colunas de uma matriz A:
A = 1 & 2 & 1 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1

Passo 3

Calculamos det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
det(A) =1cdot1 & -12 & 1 -2cdot2 & -11 & 1 +1cdot2 & 11 & 2
Agora cada cofactor:
1 & -12 & 1 =1cdot1-(-1)cdot2=1+2=3,
2 & -11 & 1 =2cdot1-(-1)cdot1=2+1=3,
2 & 11 & 2 =2cdot2-1cdot1=4-1=3
Substituindo:
det(A)=1cdot3-2cdot3+1cdot3=3-6+3=0

Passo 4

Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base de R^3.

Resposta

O conjunto beta não é base de R^3.

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