Verifique se os vetores abaixo formam uma base para o espaço vetorial indicado.
beta=(1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1) para R^3

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
beta = (1,1,1),,(1,-1,1),,(1,1,-1)
em R^3 e pede para verificar se esses vetores formam uma base de R^3. Para isso, basta testar se eles são linearmente independentes (num espaço de dimensão 3, três vetores são base se, e somente se, forem independentes), o que podemos fazer calculando o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são os vetores de beta:
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1

Passo 3

Calculamos det(A). Usando regra de Sarrus ou expansão por co-fatores:
det(A) =1cdotl((-1)cdot(-1)-1cdot1r) -1cdotl(1cdot(-1)-1cdot1r) +1cdotl(1cdot1-(-1)cdot1r)
Dentro dos parênteses:
(-1)cdot(-1)-1cdot1 = 1-1 = 0,
1cdot(-1)-1cdot1 = -1-1 = -2,
1cdot1-(-1)cdot1 = 1+1 = 2
Substituindo:
det(A)=1cdot0 -1cdot(-2) +1cdot2 = 0 +2 +2 = 4

Passo 4

Como det(A)=4neq0, os vetores são linearmente independentes e, pelo fato de serem três vetores em R^3, também geram todo o espaço. Logo, formam uma base de R^3.

Resposta

Sim. Os vetores de beta formam uma base de R^3, pois o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero ( det(A)=4neq0).

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