Exibir o núcleo, uma base para o núcleo e uma base para a imagem de cada uma das transformações. Em seguida, verifique que
dim V=dimKer T+dimIm T
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+2 y+5 z, 0, z-y-x)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (2x+2y+5z,;0,;z - y - x)
Vamos encontrar o núcleo de T (solução de T(x,y,z)=(0,0,0)), uma base para esse núcleo, depois a imagem de T (span das colunas ou dos T(ei)) e sua base, e por fim verificar a identidade
dim R^3 ;=;dimker T;+;dimImT

Passo 2

Para achar
isto é, o sistema
Da terceira equação vem
Substituindo na primeira:
Então .

Passo 3

Logo
ker T = (x,y,z)mid y=-x,;z=0 = (x,-x,0)mid xinR = span,(1,-1,0)
Portanto uma base de ker T é (1,-1,0) e
dimker T = 1

Passo 4

Para a imagem, podemos usar as colunas da matriz de T ou calcular T(ei). Temos
T(e1)=T(1,0,0)=(2,0,-1), T(e2)=T(0,1,0)=(2,0,-1), T(e3)=T(0,0,1)=(5,0,1)
Como T(e2)=T(e1), as colunas independentes são T(e1) e T(e3). Logo
ImT = span,(2,0,-1),,(5,0,1),
uma base para ImT é (2,0,-1),(5,0,1) e
dimImT = 2

Passo 5

Finalmente, verificamos o teorema do núcleo e da imagem:
dim R^3 = 3, dimker T = 1, dimImT = 2,
e de fato
3 = 1 + 2

Resposta

Ker T = span (1,-1,0), base do núcleo (1,-1,0).
Im T = span (2,0,-1),(5,0,1), base da imagem (2,0,-1),(5,0,1).
Verifica-se dimR^3=1+2.

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