Exiba uma base para cada um dos espaços vetoriais e em seguida determine a dimensão do espaço.
V=(x, y, z) / x-2 y+3 z=0.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = (x,y,z)inR^3 mid x - 2y + 3z = 0
Estamos diante de uma equação linear homogênea em R^3, ou seja, um plano que passa pela origem. Para encontrar uma base, basta resolver essa equação e escrever as soluções como combinação linear de vetores-padrão.

Passo 2

Resolvendo a condição x - 2y + 3z = 0, isolamos x:
x = 2y - 3z
Tomamos y e z como parâmetros livres, digamos y = s e z = t, com s,tinR.

Passo 3

Substituindo na tripla (x,y,z), obtemos
(x,y,z) = (2s - 3t,;s,;t) = s,(2,1,0) ;+; t,(-3,0,1)
Isso mostra que todo vetor de V é combinação linear de (2,1,0) e (-3,0,1).

Passo 4

Verificamos que (2,1,0) e (-3,0,1) não são múltiplos um do outro, logo são linearmente independentes e geram V. Portanto formam uma base de V.

Resposta

Uma base de V é
(2,1,0),;(-3,0,1),
e a dimensão de V é 2.

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