Verifique quais dentre as funções abaixo são transformações lineares.
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(2 x+2 y+5 z, 0, z-y-x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z) = (,2x+2y+5z,;0,;z - y - x,)
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar o fato de que T é linear se, e somente se, para quaisquer vetores u,vinR^3 e qualquer escalar alphainR, vale
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha u)=alpha,T(u)

Passo 2

Verificamos primeiro o comportamento em relação à soma. Tomemos
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
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T(u+v) = l(2(x1+x2)+2(y1+y2)+5(z1+z2),;0,;(z1+z2)-(y1+y2)-(x1+x2)r)
Distribuindo, obtemos
T(u+v) = l((2x1+2y1+5z1)+(2x2+2y2+5z2),;0,;(z1-y1-x1)+(z2-y2-x2)r),
que é exatamente
T(u)+T(v)

Passo 3

Agora verificamos a homogeneidade. Para alphainR e u=(x,y,z),
alpha,u = (alpha x,;alpha y,;alpha z),
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T(alpha u) = l(2(alpha x)+2(alpha y)+5(alpha z),;0,;alpha z-alpha y-alpha xr) = l(alpha(2x+2y+5z),;0,;alpha(z-y-x)r),
que coincide com
alpha,T(x,y,z)

Passo 4

Uma forma abreviada de ver tudo isso é notar que T pode ser escrita como
T(v) = A,v,
onde
A = 2 & 2 & 5 0 & 0 & 0 -1 & -1 & 1
é uma matriz fixa. Toda aplicação dada por multiplicação por matriz é linear por definição.

Resposta

A transformação T é linear.

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