Verifique quais dentre as funções abaixo são transformações lineares.
dada por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar o fato de que
é linear se, e somente se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, vale
Passo 2
Verificamos primeiro o comportamento em relação à soma. Tomemos
Então
logo
Distribuindo, obtemos
que é exatamente
Passo 3
Agora verificamos a homogeneidade. Para
e
,
logo
que coincide com
Passo 4
Uma forma abreviada de ver tudo isso é notar que
pode ser escrita como
onde
é uma matriz fixa. Toda aplicação dada por multiplicação por matriz é linear por definição.
Resposta
A transformação
T é linear.